[논문 리뷰] Dynamic risk measuring under model uncertainty: taking advantage of the hidden probability measure

Jocelyne Bion–Nadal, Magali Kervarec|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 28.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 19인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 약한 상대적으로 컴act한 집합 내에 숨겨진 확률측도의 은폐된 캐논리컬 동치류를 활용하여 모델 불확실성 하에서 동적 위험 측도에 대한 일반적 프레임워크를 개발한다. 이중 표현을 수립하고, 시간 일致성과 정규성(규칙성)을 증명하며, 하위선형 위험 측도와 G-기대에 이 те론을 적용하여 조건부 G-기대가 L¹(c) 위에서 시간 일치성 위험 측도로 확장됨을 보여준다.

ABSTRACT

We study dynamic risk measures in a very general framework enabling to model uncertainty and processes with jumps. We previously showed the existence of a canonical equivalence class of probability measures hidden behind a given set of probability measures possibly non dominated. Taking advantage of this result, we exhibit a dual representation that completely characterizes the dynamic risk measure. We prove continuity and characterize time consistency. Then, we prove regularity for all processes associated to time consistent convex dynamic risk measures. We also study factorization through time for sublinear risk measures. Finally we consider examples (uncertain volatility and G-expectations).

연구 동기 및 목표

• 우열한 확률측도가 존재하지 않는 상황에서 동적 위험 측도를 다루기 위해
• 비지배적 측도 집합 내에 숨겨진 캐논리컬 동치류를 식별하고 활용하기 위해
• 시간 일치성과 정규성을 보장하는 동적 위험 측도의 이중 표현을 수립하기 위해
• 하위선형 위험 측도와 조건부 G-기대로 이 이론을 확장하여 시간 일치성과 적분 가능성의 증명을 위해

제안 방법

• 이전 연구에서 확립된, 비지배적 측도 집합의 약한 상대적으로 컴팩트한 집합에서 유도된 캐논리컬 동치류의 확률측도를 활용한다.
• 형태 $\rho(X) = \sup_{P \in \mathcal{P}} (E_P(-X) - \alpha(P))$의 이중 표현을 적용하여 동적 위험 측도를 특성화한다.
• 시간 일치성을 코크세일 조건 $\rho_{r,t} = \rho_{r,s} \circ (-\rho_{s,t})$를 통해 증명한다. 여기서 $r \leq s \leq t$이다.
• 숨겨진 확률 측도 클래스의 구조를 이용하여 시간 일치성 볼록 동적 위험 측도와 관련된 과정의 정규성(규칙성)을 증명한다.
• 시간에 따른 인수분해를 하위선형 위험 측도에 적용하여 시간 간격 전반에 걸쳐 일致성을 보장한다.
• PDE 해를 통해 정의된 조건부 G-기대를 $c$-노름에서의 밀도와 연속성 추론을 통해 $L^1(c)$로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지배적 확률측도가 존재하지 않을 경우, 어떻게 동적 위험 측도를 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 숨겨진 캐논리컬 동치류의 확률측도는 위험 측도에 대한 이중 표현을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 비지배적, 모델 불확실성 환경에서 시간 일치성은 어떻게 특성화되고 증명될 수 있는가?
• RQ4 조건부 G-기대는 $L^1(c)$ 위에서 시간 일치성 동적 위험 측도로 확장될 수 있는가? 그 이중 표현은 무엇인가?
• RQ5 시간 일치성 동적 위험 측도와 관련된 과정의 정규성과 적분 가능성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 동적 위험 측도의 이중 표현이 $\rho(X) = \sup_{P \in \mathcal{P}} (E_P(-X) - \alpha(P))$를 통해 수립되며, 여기서 $\mathcal{P}$는 비지배적 확률측도의 약한 상대적으로 컴팩트한 집합이다.
• 코크세일 조건 $\rho_{r,t} = \rho_{r,s} \circ (-\rho_{s,t})$를 통해 시간 일치성이 증명되며, 캐논리컬 동치류의 존재가 이 성질가 유지됨을 보장한다.
• 동적 위험 측도 $\rho_s(X) = \hat{E}(-X|\mathcal{F}_s)$는 $L^1(c)$ 위로 유일하게 확장되며, $L^1_s(c)$ 값으로 유지되며, 하위선형성과 시간 일치성을 유지한다.
• 조건부 G-기대는 이중 표현을 갖는다: $\hat{E}(X|\mathcal{F}_s) = \mathrm{esssup}_{n \in \mathbb{N}} E_{Q_n}(X|\mathcal{F}_s)$ $P$-거의확실하게, 여기서 $\{Q_n\}$은 가 countable한 확률측도 집합이다.
• 모든 $X \in L^1(c)$에 대해, $\hat{E}(X|\mathcal{F}_s) = E_{Q_X}(X|\mathcal{F}_s)$ $P$-거의확실하게 성립하는 확률측도 $Q_X$가 존재하여 강한 볼록성을 보장한다.
• 용량 $c(X) = \hat{E}(|X|)$는 $L^1(c)$ 위에서 노름을 정의하며, $\hat{E}(\cdot|\mathcal{F}_s)$의 확장은 이 공간 위에서 연속적이고 잘 정의되어 있다.