[論文レビュー] Dynamic Time Warping and Geometric Edit Distance: Breaking the Quadratic Barrier

Omer Gold, Micha Sharir|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Time Series Analysis and Forecasting参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、Rにおけるn点のシーケンス同士の動的時系列歪み（DTW）および幾何学的編集距離（GED）を計算する最初の決定的アルゴリズムを提示し、O(n²/log log n) 時間で実行され、長年のO(n²)二乗時間の壁を破った。この手法は、分解された部分問題に拡張されたフレドマンのテクニックとSMAWKアルゴリズムを新規に応用した分割統治戦略を用い、L1やL∞などの多面体距離において、DTWおよびGEDの両方で準二次的性能を達成可能にした。

ABSTRACT

Dynamic Time Warping (DTW) and Geometric Edit Distance (GED) are basic similarity measures between curves or general temporal sequences (e.g., time series) that are represented as sequences of points in some metric space (X, dist). The DTW and GED measures are massively used in various fields of computer science and computational biology, consequently, the tasks of computing these measures are among the core problems in P. Despite extensive efforts to find more efficient algorithms, the best-known algorithms for computing the DTW or GED between two sequences of points in X = R^d are long-standing dynamic programming algorithms that require quadratic runtime, even for the one-dimensional case d = 1, which is perhaps one of the most used in practice. In this paper, we break the nearly 50 years old quadratic time bound for computing DTW or GED between two sequences of n points in R, by presenting deterministic algorithms that run in O( n^2 log log log n / log log n ) time. Our algorithms can be extended to work also for higher dimensional spaces R^d, for any constant d, when the underlying distance-metric dist is polyhedral (e.g., L_1, L_infty).

研究の動機と目的

• Rにおける点のシーケンス同士のDTWおよびGEDを計算する際のほぼ50年間続くO(n²)時間の上限を打ち破ること。
• L1やL∞などの多面体距離において、DTWから幾何学的編集距離（GED）への準二次的性能を拡張すること。
• 長年の二乗時間の動的計画法のアプローチを上回る決定的アルゴリズムを提供すること。
• 時系列データや軌跡データの高速類似度計算を要する実用的応用を支援すること。

提案手法

• 入力シーケンスをブロックに分解し、部分問題を処理するための分断統治戦略を用いる。
• グリッド部分問題における階段状パスのコストを効率的に比較するために、拡張されたフレドマンのテクニックの変更版を適用する。
• 完全単調行列のためのSMAWKアルゴリズムを用いて、動的計画法の遷移を最適化する。
• 各部分問題を、垂直・水平・対角線の辺を持つ重み付きグリッドグラフとして表現し、辺の重みを距離またはギャップペナルティに対応させる。
• R境界計算を用いて、部分問題の境界を跨いで最適パスコストを維持・伝搬する。
• ギャップペナルティρを伴う単調なマッチングをグリッド上のパスとしてモデル化することでGEDに適応し、同じ最適化技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元のシーケンスにおけるDTWの計算のO(n²)時間計算量を、決定的アルゴリズムによって打ち破ることは可能か？
• RQ2 標準的な線形ギャップペナルティのもとで、DTWから幾何学的編集距離（GED）への準二次的性能を拡張することは可能か？
• RQ3 同じアルゴリズムフレームワークを、L1 や L∞ などの多面体距離を伴う高次元空間Rdに適応可能か？
• RQ4 非一様な辺の重みを伴うグリッドベースの動的計画法において、拡張されたフレドマンのテクニックをどのようにパスコストの比較に応用できるか？
• RQ5 時間計算量のlog log n要因を、高度な行列選択技術を用いてさらに削減可能か？

主な発見

• 本論文は、Rにおけるn点の2つのシーケンス間のDTWを計算する決定的O(n²/log log n)時間のアルゴリズムを達成し、50年間にわたる二乗時間の壁を破った。
• 同じアルゴリズムフレームワークは、最適マッチングとコスト計算の両方をサポートするGEDの計算にも拡張可能で、同様の時間計算量を達成した。
• L1 や L∞ などの多面体距離を伴う任意の定数次元dにおける高次元空間Rdに対しても、本手法が適用可能である。
• 分断統治、拡張されたフレドマンのテクニック、SMAWKアルゴリズムの新規な組み合わせを用いて、動的計画法テーブルの最適化を実現した。
• 線形関数による点座標の関数を含むより一般的なギャップペナルティ関数をサポートでき、外れ値に対してより頑健になった。
• SMAWKアルゴリズムにより、log log log n要因を削減することで、時間計算量が改善された。この点は謝辞欄でも指摘されている。