[논문 리뷰] Dynamical Degrees, Arithmetic Degrees, and Canonical Heights for Dominant Rational Self-Maps of Projective Space

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 34인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 사영 공간의 근본적 유리 자기사상에 대해 표준 높이 함수와 산술도를 도입하며, 기존의 고전적 높이 이론을 모르피즘을 초월해 일반화한다. 단항 사상의 경우, 점의 궤도가 자리스키 밀도가 있을 때이고 오직 그 때에만 산술도가 동적 차수와 일치함을 증명하고, 산술도가 대수적 정수로 이루어진 유한 집합임을 확립한다.

ABSTRACT

Let F : P^N --> P^N be a dominant rational map. The dynamical degree of F is the quantity d_F = lim (deg F^n)^(1/n). When F is defined over a number field, we define the arithmetic degree of an algebraic point P to be a_F(P) = limsup h(F^n(P))^(1/n) and the canonical height of P to be h_F(P) = limsup h(F^n(P))/n^k d_F^n for an appropriately chosen integer k = k_F. In this article we prove some elementary relations and make some deep conjectures relating d_F, a_F(P), and h_F(P). We prove our conjectures for monomial maps.

연구 동기 및 목표

• 사영 공간의 근본적 유리 자기사상에 대해 표준 높이 함수를 정의하여 고전 이론을 모르피즘을 초월해 확장한다.
• 점의 Weil 높이가 반복에 의해 증가하는 비율을 측정하는 산술도를 도입한다.
• 동적 차수, 산술도, 표준 높이, 궤도의 자리스키 밀도 사이의 관계를 규명하고 추측을 제시·증명한다.
• 산술도 집합이 유한하고 대수적 정수로 이루어져 있음을 증명하며, 동적 차수와의 등식이 자치스키 밀도 궤도일 때에만 성립함을 밝힌다.

제안 방법

• n → ∞ 일 때 (deg φⁿ)¹ᐟⁿ 의 극한으로서 동적 차수 δφ를 정의한다.
• P가 불연속성 집합을 피하는 궤도를 가지는 영역 내에 있을 때, h(φⁿ(P))¹ᐟⁿ 의 상한극한으로서 산술도 αφ(P)를 정의한다.
• ℓφ가 성장률을 안정화시키도록 선택된 δφ⁻ⁿ n⁻ˡφ h(φⁿ(P)) 의 상한극한으로서 표준 높이 ĥφ(P)를 정의한다.
• 단항 사상의 경우, 표준 높이가 잘 정의되고 유한하며, αφ(P) = δφ 이다. 자리를스키 밀도 궤도일 때에만 성립함을 증명한다.
• Picard 군 위의 작용과 φ*의 고유값을 이용해 성장률을 분석하고 특정 케이스에서 추측을 증명한다.
• Picard 군이 ℤ²인 K3 표면 X ⊂ ℙ²×ℙ²에 대한 결과를 적용하여, 모르피즘이 아닌 설정에서 추측을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술도가 동적 차수와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 잘 정의된 궤도를 가진 모든 점들에 대해 산술도 집합이 유한하고 대수적 정수로 이루어져 있는가?
• RQ3 고전적 모르피즘 케이스를 일반화하는 근본적 유리 사상에 대해 표준 높이 함수를 정의할 수 있는가?
• RQ4 표준 높이, 산술도, 궤도의 자리를스키 밀도 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 코homology 위의 유도된 사상의 고유값은 높이와 차수의 성장과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 단항 사상의 경우, 산술도 αφ(P)는 자리를스키 밀도 궤도일 때이고 오직 그 때에만 동적 차수 δφ 와 일치한다.
• ℙᴺ(ℚ̄)φ 내의 점 P에 대해 산술도 αφ(P)의 집합은 유한하고 대수적 정수로 이루어져 있다.
• NS(X) ≅ ℤ² 인 K3 표면 X ⊂ ℙ²×ℙ² 에서, 자리를스키 밀도 궤도가 아닌 점 P에 대해 자동사상 φ = ι₁∘ι₂ 는 δφ = 7 + 4√3 를 가지며, αφ(P) = δφ 이다.
• 이러한 K3 표면 자동사상의 경우, αφ(P) = 1 이다. 자리를스키 밀도 궤도가 아닌 점 P에 대해, 즉 P가 주기적일 때이다.
• 단항 사상의 경우 표준 높이 ĥφ(P) 는 잘 정의되고 유한하며, ĥφ(P) = 0 이다. 자리를스키 밀도 궤도가 아닌 점 P에 대해, 즉 P가 전주기적일 때이다.
• h(φⁿ(P)) 의 성장은 δφⁿ 에 의해 지배되며, δφ⁻ⁿ n⁻ˡφ 로 정규화할 때 표준 높이는 유한한 극한으로 수렴한다.