[論文レビュー] Dynamical systems, simulation, abstract computation

Stefano Galatolo, Mathieu Hoyrup+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2011

Cellular Automata and Applications参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、計算可能解析とチューリング機械モデルを用いて、力学系における不変測度、ジュリア集合、典型点の理論的限界を調査する。多くの力学的量、特に区分的拡張写像における不変測度は任意の精度で計算可能であるが、根本的に不可能な計算を伴う系が存在することを示し、力学系におけるシミュレーションに内在する理論的障壁を確立する。

ABSTRACT

We survey an area of recent development, relating dynamics to theoretical computer science. We discuss the theoretical limits of simulation and computation of interesting quantities in dynamical systems. We will focus on central objects of the theory of dynamics, as invariant measures and invariant sets, showing that even if they can be computed with arbitrary precision in many interesting cases, there exists some cases in which they can not. We also explain how it is possible to compute the speed of convergence of ergodic averages (when the system is known exactly) and how this entails the computation of arbitrarily good approximations of points of the space having typical statistical behaviour (a sort of constructive version of the pointwise ergodic theorem).

研究の動機と目的

• 不変測度やジュリア集合といった主要な力学的対象をアルゴリズムを用いて厳密に計算可能かどうかの理論的妥当性を調査すること。
• これらの対象がチューリング機械によって任意の精度で計算可能となる条件を特定すること。
• 特にカオス的または非一様に双曲的な設定における力学系におけるシミュレーションと計算の理論的限界を確立すること。
• 典型統計的性質を示す計算可能点の列を構成することによって、点ごとのエルゴード定理の構成的バージョンを提供すること。
• 計算可能性の結果のロバスト性と複雑性、特に時間計算量と系の摂動に対する感受性を検討すること。

提案手法

• 測度や集合の任意の精度での計算という概念を形式化するために、計算可能解析と計算可能距離空間を用いる。
• 区分的拡張写像における不変測度の計算可能性を証明するために、有効な定数を伴うラソータ＝ヨルケの不等式を適用する。
• エルゴード平均の一様収束結果を用いて、統計的に典型である点の列を構成する。
• 写像と測度のアルゴリズム的記述を活用して、不変集合や測度の有効な近似を生成する。
• エルゴード平均の収束速度に基づいて、不変測度の台に稠密な擬似ランダム点の均一なアルゴリズム的構成を導入する。
• 時間制限付きのバージョンを検討し、系のパラメータが計算可能性に与える影響を分析することで、計算の複雑性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、力学系の不変測度がチューリング機械によって任意の精度で計算可能となるか？
• RQ2 ジュリア集合と関連するブロリン＝リュビチ測度はアルゴリズム的に計算可能か？ その計算複雑性の上限は何か？
• RQ3 与えられたエルゴード系に対して、統計的に典型である計算可能点の列をアルゴリズム的に生成することは可能か？
• RQ4 計算可能であるにもかかわらず、計算可能な不変測度を持たない力学的系は存在するか？
• RQ5 不変測度の計算可能性は、区分的拡張写像や非一様に双曲的な写像のような、系の正則性や構造にどのように依存するか？

主な発見

• 導関数が計算可能な区分的拡張写像に対しては、ラソータ＝ヨルケの不等式の有効な推定を用いることで、物理的不変測度を任意の精度で計算可能である。
• 計算可能な力学的系であっても、計算可能な不変測度を持たない系が存在することを示し、力学系におけるシミュレーションの根本的な理論的限界を実証する。
• 双曲的および特定の放物的ケースでは、ジュリア集合と関連するブロリン＝リュビチ測度は計算可能であるが、一部のシーゲル二次ジュリア集合は任意に高い時間計算量を示す。
• 不変測度の台に稠密で、点ごとのエルゴード定理を満たす計算可能点の均一な列をアルゴリズム的に構成可能である。
• エルゴード平均の収束速度は、系の記述から有効に推定可能であり、これにより典型点のアルゴリズム的構成が可能である。
• 非計算可能な不変測度の存在は、必ずしもロバストではないが、現象自体はまれであり、系の微細な構造的性質に依存する可能性がある。