[論文レビュー] Dynamics of Convex Cocompact Subgroups of Mapping Class Groups

Ilya Gekhtman|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、写像類群の凸コンパクト部分群における軌道の増加と閉測地線の増加に関する漸近的数え上げ公式を確立する。これは、射影測度的 foliation の空間にパトゥソン＝シュルマン理論を構築することで達成される。軌道と擬等長要素の共役類の増加は、マーガリス型の漸近的性質に従い、ボーエン＝マーガリス測度は混合的であることが示され、負曲率多様体における古典的結果がテイヒミュラー力学へと拡張される。

ABSTRACT

For a convex cocompact subgroup $G

研究の動機と目的

• 負曲率多様体におけるマーガリスおよびロブリンの漸近的数え上げ結果を、テイヒミュラー空間に作用する写像類群の凸コンパクト部分群へと拡張すること。
• G < \mathrm{Mod}(S) における軌道増加の漸近的公式を確立し、e^{-hR} |B_R(x) \cap Gy| \to \Lambda(x)\Lambda(y) に類似した形とすること。ここで h は収束指数である。
• 移動長が R 以下の原始的擬等長要素の共役類の数 n_M(R) が、hR e^{-hR} n_M(R) \to 1 を満たすことを証明し、古典的閉測地線数え上げと類似させる。
• テイヒミュラー空間に全般的な負曲率がないにもかかわらず、\mathrm{PMF} 上の共形密度を用いて、Q^1(S) 上に G-不変かつ混合的であるボーエン＝マーガリス型測度を構成すること。
• G に属する擬等長要素の拡張率の対数が \mathbb{R} の稠密部分群を生成することを証明し、長さスペクトルの非整数性を保証すること。

提案手法

• G < \mathrm{Mod}(S) がサーストン境界 \mathrm{PMF} に作用する場合のパトゥソン＝シュルマン理論の類似を構築し、極限集合 \Lambda(G) \subset \mathrm{PMF} に台を持つ一意な G-共形密度 \nu_x を構成する。
• バセマン関数を用いて \nu_x \times \nu_x をスケーリングし、Q^1(S) 上に有限かつ-compactly な G-不変測度 \mu を定義する。
• G の長さスペクトルに非退化性条件を確立することで、得られた測度 \mu が混合的であることを証明する。トレイントラック座標を用いて、グイヴァルチ＝アルバーン条件を満たす \mathrm{SL}_n(\mathbb{R}) への部分半群の埋め込みを構成する。
• エルゴディック理論的技法とホッジノルム推定を用いて、平坦曲線が短いジオデシックセグメントの寄与を制御し、moduli 空間の厚みのある部分に均等な割合の時間を費やすセグメントに注目する。
• ロブリンに類似した技法を適用し、適切に振る舞うジオデシックを数え、漸近的性質が制御された同伴走行を示すセグメントによって支配されることを示す。
• 局所的近傍 \widehat{V}(x,r) 上での測度の局所的収束を、分区の単位による議論によりグローバルな弱収束に拡張し、漸近的公式の証明を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負曲率多様体におけるマーガリスの結果に類似した漸近的軌道増加公式は、写像類群の凸コンパクト部分群がテイヒミュラー空間に作用する場合に確立可能か？
• RQ2 移動長が R 以下の原始的擬等長要素の共役類の数 n_M(R) は、古典的ケースと同様に hR e^{-hR} n_M(R) \to 1 を満たすか？
• RQ3 テイヒミュラー空間に全般的な負曲率がないにもかかわらず、凸コンパクト部分群 G < \mathrm{Mod}(S) に関連するボーエン＝マーガリス測度は混合的か？
• RQ4 長さスペクトルが拡張率の対数で測られる凸コンパクト部分群 G の長さスペクトルは、\mathbb{R} の稠密部分群を生成するか？ これにより非整数性が保証される。
• RQ5 \mathrm{PMF} 上に共形密度を構成し、それを用いて Q^1(S) 上に有限で G-不変な測度を定義できるか？ その測度はボーエン＝マーガリス測度に類似した性質を示すか？

主な発見

• G < \mathrm{Mod}(S) の軌道増加は、\lim_{R\to\infty} e^{-hR} |B_R(x) \cap Gy| = \Lambda(x)\Lambda(y) を満たす。ここで h は収束指数であり、\Lambda は \mathrm{Teich}(S) 上の連続的 G-不変関数である。
• 移動長が R 以下の原始的擬等長要素の共役類の数 n_M(R) は、\lim_{R\to\infty} hR e^{-hR} n_M(R) = 1 を満たす。これはマーガリス型漸近的性質を確認する。
• Q^1(S) 上に構成されたボーエン＝マーガリス型測度 \mu は混合的である。これは、エルゴディック理論を用いた数え上げ結果の証明に不可欠である。
• G に属する擬等長要素の拡張率の対数は \mathbb{R} の稠密部分群を生成する。これにより、G の長さスペクトルの非整数性が証明される。
• 漸近的公式は、moduli 空間の厚みのある部分に均等な割合の時間を費やすジオデシックセグメントによって支配され、短い平坦曲線による病理的挙動を回避する。
• 計数測度の収束は、局所的近傍 \widehat{V}(x,r) 上での分区の単位による議論によりグローバルに確立され、極限測度は不変測度 \widetilde{\mu} に比例する。