[論文レビュー] Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups I: connected components of the Julia sets

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有界な平面的後臨界集合をもつ多項式半群の力学的性質を調査し、ジュリア集合の連結成分が「囲む」関係によって階層的に順序付けられることを証明している。この順序付けにより、構造的制約が生じ、各ファトウ成分は単純接続または二重接続であり、ジュリア集合は一様に完備である。連結成分の数に上界が存在することを示し、任意の指定された有限または可算無限の濃度を持つ例を構成することで、古典的多項式力学系に見られない新しい現象を明らかにした。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of semigroups generated by a family of polynomial maps on the Riemann sphere such that the postcritical set in the complex plane is bounded. The Julia set of such a semigroup may not be connected in general. We show that for such a polynomial semigroup, if $A$ and $B$ are two connected components of the Julia set, then one of $A$ and $B$ surrounds the other. From this, it is shown that each connected component of the Fatou set is either simply or doubly connected. Moreover, we show that the Julia set of such a semigroup is uniformly perfect. An upper estimate of the cardinality of the set of all connected components of the Julia set of such a semigroup is given. By using this, we give a criterion for the Julia set to be connected. Moreover, we show that for any $n\in \Bbb{N} \cup \{\aleph_{0}\} ,$ there exists a finitely generated polynomial semigroup with bounded planar postcritical set such that the cardinality of the set of all connected components of the Julia set is equal to $n.$ Many new phenomena of polynomial semigroups that do not occur in the usual dynamics of polynomials are found and systematically investigated.

研究の動機と目的

• 後臨界が有界な多項式半群のジュリア集合の位相的構造を分析すること。
• このような半群の力学が、古典的有理関数または多項式力学とどのように異なるかを理解すること。
• 後臨界有界性の下でのファトウ集合およびジュリア集合の連結性特性を同定すること。
• ジュリア集合の連結性の基準を確立し、連結成分の数の上限を求める。
• 任意の与えられた濃度に対して、ジュリア集合の連結成分がちょうど n 個であるような、有限生成多項式半群の構成を行うこと。

提案手法

• リーマン球上の多項式族によって生成される半群として多項式半群を定義する。
• 有限後臨界集合が ℂ で有界であるような後臨界有界半群の概念を導入する。
• 「囲む」順序性の性質を用いる：ジュリア集合の任意の2つの連結成分 A と B に対して、一方が他方を囲む。
• ジュリア集合の構造を分析するために、後退的自己相似性および反復関数系の技法を適用する。
• 位相的および力学的制約を用いて、ジュリア集合の一様完備性を確立する。
• 固定点と制御された臨界値をもつ多項式の摂動を用いて、任意の所望の成分濃度を実現する明示的例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後臨界有界な多項式半群におけるジュリア集合の連結成分どうしは、どのように位相的に関係しているか？
• RQ2 このような半群におけるファトウ成分の可能な連結性タイプは何か？
• RQ3 ジュリア集合が非連結であっても、その成分間に構造的な階層が保たれるか？
• RQ4 このような半群におけるジュリア集合の連結成分の数に、上界が存在するか？
• RQ5 任意の与えられた濃度 n ∈ ℕ ∪ {ℵ₀} に対して、ジュリア集合の連結成分がちょうど n 個であるような有限生成多項式半群が存在するか？

主な発見

• 後臨界有界な多項式半群のジュリア集合の任意の2つの連結成分 A と B に対して、一方が他方を囲むことが保証され、階層的順序が成立する。
• ファトウ集合の各連結成分は、単純接続または二重接続に限られ、より高い連結性は排除される。
• このような半群のジュリア集合は一様に完備であり、孤立点がなく、強い位相的厚さを示す。
• ジュリア集合の連結成分の数に、動的および臨界構造に依存する上界が確立される。
• 任意の n ∈ ℕ ∪ {ℵ₀} に対して、平面的後臨界集合が有界で、ジュリア集合の連結成分がちょうど n 個であるような有限生成多項式半群が存在する。
• 本稿では、固定点と制御された臨界値をもつ多項式の摂動を用いて、このような例を明示的に構成している。