[論文レビュー] $E_{11}$, Borcherds algebras and maximal supergravity

Marc Henneaux, Bernard L. Julia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$E_{11}$ の分割実形式から、ボルチェルズ超代数 $υ_D$ の体系的導出を確立し、$D \leq 11$次元に compactified された最大ノンアフィン超重力における $p$-形式ゲージ場が、$\mathfrak{V}_D$ のパラボリック部分代数の生成元として生じることを示している。主な結果は、動的および非動的 $p$-形式（$(D-1)$-形式および $D$-形式を含む）が、$E_{11}$ が最大ノンアフィン超重力の形式スピンの背後にある対称性フレームワークを提供するボルチェルズ代数構造の下で統一されることである。

ABSTRACT

The dynamical $p$-forms of torus reductions of maximal supergravity theory have been shown some time ago to possess remarkable algebraic structures. The set ("dynamical spectrum") of propagating $p$-forms has been described as a (truncation of a) real Borcherds superalgebra $\mf{V}_D$ that is characterized concisely by a Cartan matrix which has been constructed explicitly for each spacetime dimension $11 \geq D \geq 3.$ In the equations of motion, each differential form of degree $p$ is the coefficient of a (super-) group generator, which is itself of degree $p$ for a specific gradation (the $\mf{V}$-gradation). A slightly milder truncation of the Borcherds superalgebra enables one to predict also the "spectrum" of the non-dynamical $(D - 1)$ and $D$-forms. The maximal supergravity $p$-form spectra were reanalyzed more recently by truncation of the field spectrum of $E_{11}$ to the $p$-forms that are relevant after reduction from 11 to $D$ dimensions. We show in this paper how the Borcherds description can be systematically derived from the split ("maximally non compact") real form of $E_{11}$ for $D \geq 1.$ This explains not only why both structures lead to the same propagating $p$-forms and their duals for $p\leq (D - 2),$ but also why one obtains the same $(D - 1)$-forms and "top" $D$-forms. The Borcherds symmetries $\mf{V}_2$ and $\mf{V}_1$ are new too. We also introduce and use the concept of a presentation of a Lie algebra that is covariant under a given subalgebra.

研究の動機と目的

• 最大ノンアフィン超重力の $p$-形式スピンを記述するボルチェルズ超代数 $\mathfrak{V}_D$ と $E_{11}$ 対称性代数との間の体系的リンクを確立すること。
• $D$ 次元における最大ノンアフィン超重力の動的および非動的 $p$-形式が、$E_{11}$ から導かれる統一されたボルチェルズ代数構造から生じることを示すこと。
• $\mathfrak{V}$-gradation が、運動方程式におけるゲージ場の物理的形式次数と一致することを示すこと。
• 部分代数に関して共変なリー代数の表現を導入し、$E_{11}$ から $\mathfrak{V}_D$ への一貫したボルチェルズ構造の導出を可能にすること。
• $E_{11}$ とボルチェルズ代数の両方のアプローチが、$(D-1)$-形式および $D$-形式を含む、$p \leq D$ の範囲で同一のスピンを生成する理由を説明すること。

提案手法

• $E_{11}$ の分割（最大非コンパクト）実形式を、ボルチェルズ超代数 $\mathfrak{V}_D$ を導出する基礎的な代数的構造として用いる。
• $E_{11}$ の $p$-形式内容に対して切断手続きを適用し、形式次数 $p \leq D$ に制限することで、物理的時空次元に対応させる。
• 導出は、$\mathfrak{U}_D$ を部分代数として含む、ボルチェルズ代数 $\mathfrak{V}_D$ のパラボリック部分代数に依存している。
• 著者らは、与えられた部分代数に関して共変なリー代数の「表現」を導入し、$E_{11}$ から $\mathfrak{V}_D$ への一貫した写像を可能にした。
• $k \to \infty$ の極限における $E_{11+k}$ を用いて、形式次数の切断を一時的に解除し、$p \leq D$ を課す前の普遍的なボルチェルズ代数構造を明らかにした。
• $D = 3$ から $11$ までの各 $D$ について、$\mathfrak{V}_D$ のカルタン行列を明示的に構成し、ルート系および生成元の内容を符号化した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大ノンアフィン超重力の $p$-形式スピンを記述するボルチェルズ超代数 $\mathfrak{V}_D$ は、どのように $E_{11}$ 代数から体系的に導出可能か？
• RQ2 $E_{11}$ とボルチェルズ代数の両方のアプローチが、$p \leq D$ の範囲で同一のスピンを生成する理由は何か？
• RQ3 $\mathfrak{V}$-gradation は、ボルチェルズ代数の生成元の代数的次数と、ゲージ場の物理的形式次数を一致させる役割を果たすのはどのような意味か？
• RQ4 $k \to \infty$ の極限における $E_{11+k}$ の無限次元的極限は、形式次数の切断を施す前の普遍的なボルチェルズ代数構造をどのように明らかにするか？
• RQ5 $E_{11}$-ベースの統一の文脈において、新しいボルチェルズ代数 $\mathfrak{V}_2$ と $\mathfrak{V}_1$ の意義は何か？

主な発見

• $D \geq 3$ のボルチェルズ超代数 $\mathfrak{V}_D$ は、$E_{11}$ の分割実形式から体系的に導出され、$E_{11}$ と最大ノンアフィン超重力の $p$-形式スピンの間の直接的な代数的リンクを確立した。
• $\mathfrak{V}$-gradation は、ゲージ場の物理的形式次数と一致し、各 $p$-形式が $\mathfrak{V}$-次数 $p$ の生成元に対応する。
• $E_{11}$ とボルチェルズ代数の両方から、$(D-1)$-形式および $D$-形式を含む同じ $p$-形式スピンが再現され、両者のアプローチの整合性を説明した。
• $E_{11}$-ベースの導出は、タイプ $II_B$ 超重力の $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$-型構造 $\mathfrak{V}_{10_B}$ を自然に含み、カルタン行列 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ を持つランク2ボルチェルズ代数としてのその役割を確認した。
• $\mathfrak{V}_2$ および $\mathfrak{V}_1$ の新しいボルチェルズ代数は $E_{11}$ から導出され、既知の代数的フレームワークを低次元に拡張した。
• $p \leq D$ の形式次数の切断は、超空間形式的における反可換変数 $\theta_\alpha$ のため、物理的に必要不可欠であることが示され、$k \to \infty$ の極限における $E_{11+k}$ で普遍的な代数的構造が回復された。