[논문 리뷰] E-polynomials of $PGL(2,\mathbb{C})$-character varieties of surface groups

Javier Martínez|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 12.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 표면 군의 합성수 $g$와 하나의 구멍이 있는 경우에 대해 $ℚ\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-표현 다양체의 E다항식을, 분할과 피브레이션 기반의 기하 기법을 사용하여 계산한다. 주요 기여는 $q = uv$에 대한 명시적 공식을 제공하며, Langlands 쌍대 $ℚ\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$의 경우와의 비교를 통해 Hodge 단일화 표현에 의해 코딩된 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper, we compute the E-polynomials of the $PGL(2,\mathbb{C})$-character varieties associated to surfaces of genus $g$ with one puncture, for any holonomy around it, and compare it with its Langlands dual case, $SL(2,\mathbb{C})$. The study is based on the stratification of the space of representations and on the analysis of the behaviour of the E-polynomial under fibrations.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 리만 표면의 합성수 $g$와 하나의 구멍, 임의의 단일화를 가진 $ℚ\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-표현 다양체의 E다항식을 계산하는 것.
• 이 E다항식을 Langlands 쌍대 $ℚ\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-표현 다양체의 것과 비교하는 것.
• 표현 공간의 피브레이션과 분할을 통해 이러한 모듈리 공간의 기하학적 및 산술적 구조를 이해하는 것.
• 기본 다항식의 기저에 대한 피브레이션의 Hodge 단일화 표현과 E다항식 차이 사이의 관계를 설정하는 것.
• 대칭군 작용을 통한 고차수 군 $ℚ\operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ 및 $ℚ\operatorname{PGL}(n,\mathbb{C})$로의 E다항식 차이 공식의 일반화를 추측하는 것.

제안 방법

• 해석적 위상에서 국소적으로 평탄한 피브레이션(하지만 아르티노 위상에서는 아님)을 기반으로 한 기하적 접근을 사용하며, 이러한 피브레이션에서 E다항식의 행동을 활용한다.
• 표현 공간의 명시적 분할을 위해 추적 사상과 $ℚ\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-표현 다양체 위의 $\mathbb{Z}_2^{2g}$ 작용을 사용하여, $ℚ\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-표현 다양체를 몫으로서 구한다.
• 단일화 $C$가 $ℚ\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$에 따라 변할 때 E다항식의 변화를 코딩하기 위해 Hodge 단일화 표현을 적용하며, 특히 $C = \operatorname{Id}, -\operatorname{Id}, J_{\pm}, \xi_\lambda$의 경우를 중심으로 분석한다.
• 카츠의 정리에서 영감을 얻은 산술 방법을 사용하여, 유한체 위에서 점의 수를 세어 혼합 Hodge 다항식의 특수화로 E다항식을 계산한다.
• 낮은 합성수와 자유군에 대한 이전 결과를 바탕으로, 합성수 $g$에 대한 E다항식에 대한 재귀적이고 귀납적인 공식을 유도한다.
• 비아벨리안 호지 대응과 리만-힐베르트 사상에 의존하여 도르베올, 드 라무, 베티 모듈리 공간을 연결하며, 단일화 사상이 대수적이지 않음을 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합성수 $g$의 표면에 하나의 구멍이 있고 임의의 단일화를 가진 $ℚ\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-표현 다양체의 명시적 E다항식은 무엇인가?
• RQ2 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$-표현 다양체의 E다항식은 Langlands 쌍도 $ℚ\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-표현 다양체의 것과 어떻게 다를까?
• RQ3 구멍의 단일화가 변화함에 따라 E다항식의 변동을 뒷받침하는 기하학적 및 단일화적 구조는 무엇인가?
• RQ4 $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$와 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$의 E다항식 차이를 Hodge 단일화 표현으로 코딩할 수 있는가?
• RQ5 고차수 군 $ℚ\operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ 및 $ℚ\operatorname{PGL}(n,\mathbb{C})$의 경우에 이러한 E다항식 차이에 일반적인 패턴이 존재하는가?

주요 결과

• $\mathcal{M}_{\operatorname{Id}}^{g}(\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C}))$의 E다항식은 $e(\mathcal{M}_{\operatorname{Id}}^{g}) = (q^{3}-q)^{2g-2} + (q^{2}-1)^{2g-2} - q(q^{2}-q)^{2g-2} - q^{2g-2} + \frac{1}{2}q^{2g-1}((q-1)^{2g-2} + (q+1)^{2g-2}) + \frac{1}{2}q((q+1)^{2g-1} + (q-1)^{2g-1})$로 주어진다.
• $C = -\operatorname{Id}$인 경우, E다항식은 $e(\mathcal{M}_{-\operatorname{Id}}^{g}) = (q^{3}-q)^{2g-2} + (q^{2}-1)^{2g-2} - \frac{1}{2}((q^{2}+q)^{2g-2} + (q^{2}-q)^{2g-2})$이다.
• 일반화된 단일화 $J_{+} = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$의 경우, E다항식은 $e(\mathcal{M}_{J_{+}}^{g}) = (q^{2}-1)(q^{3}-q)^{2g-2} + \frac{1}{2}(-q(q+1)(q^{2}+q)^{2g-2} + (q-2)(q-1)(q^{2}-q)^{2g-2})$이다.
• $J_{-} = \begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$의 경우, E다항식은 $e(\mathcal{M}_{J_{-}}^{g}) = (q^{2}-1)(q^{3}-q)^{2g-2} + \frac{1}{2}((q+1)(q^{2}+q)^{2g-2} - (q-1)(q^{2}-q)^{2g-2})$이다.
• 정규 반단순 $\xi_\lambda = \operatorname{diag}(\lambda, \lambda^{-1})$, $\lambda \neq 0, \pm 1$의 경우, E다항식은 $e(\mathcal{M}_{\lambda}^{g}) = (q^{2}+q)(q^{3}-q)^{2g-2} + (q+1)(q^{2}-1)^{2g-2} - q(q^{2}-q)^{2g-2}$이다.
• $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$와 $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$의 E다항식 차이는 Hodge 단일화 표현 $R(\overline{X}_4 / \mathbb{Z}_2) = a^g T + c^g S_2 + b^g S_{-2} + d^g S_0$의 계수로 완전히 기술되며, $q$, $g$, 단일화 유형에 따라 $e_i - \tilde{e}_i$의 명시적 공식이 존재한다.