[논문 리뷰] Stratifications of affine Deligne-Lusztig varieties

Ulrich Goertz|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 06.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 코xeter 유형의 아핀 덜레인-루스티그 다양체에서 $σ$-중앙자 기반의 $Π$-분할이 항상 브라하트-티츠 분할과 일치함을 증명하며, 채문과 비에르만의 추측을 해결한다. 증명은 확장된 아핀 웰 군 내의 조합론적 군론과 파라호릭 부분군 내 상대적 위치 성질에 기반한다.

ABSTRACT

Affine Deligne-Lusztig varieties are analogues of Deligne-Lusztig varieties in the context of affine flag varieties and affine Grassmannians. They are closely related to moduli spaces of $p$-divisible groups in positive characteristic, and thus to arithmetic properties of Shimura varieties. We compare stratifications of affine Deligne-Lusztig varieties attached to a basic element $b$. In particular, we show that the stratification defined by Chen and Viehmann using the relative position to elements of the group $J_b$, the $σ$-centralizer of $b$, coincides with the Bruhat-Tits stratification in all cases of Coxeter type, as defined by X. He and the author.

연구 동기 및 목표

• 아핀 덜레인-루스티그 다양체의 $Π$-분할이 $σ$-중앙자 $Π$의 원소들에 대한 상대적 위치를 통해 정의되며, 모든 코xeter 유형의 경우에 브라하트-티츠 분할과 일치함을 증명하는 것.
• 비-초스펙트럴 수준 구조로의 $Π$-분할 확장을 통해, 그것이 국소적으로 닫힌 부분집합들로의 진정한 분할을 정의함을 보장하는 것.
• 아핀 덜레인-루스티그 다양체에서 기하학적 분할을 비교하기 위한 기초를 마련함으로써, 그 코homology와 산술적 응용을 이해하는 데 핵심적인 기여를 하는 것.
• 라포포르트-지크 공간과 숨어진 다양체의 맥락에서 두 분할의 동치성에 관해 채문과 비에르만(2018)이 제기한 추측을 해결하는 것.

제안 방법

• 확장된 아핀 웰 군 $χ$와 파라호릭 부분군 $χκ$를 사용하여 아핀 덜레인-루스티그 다양체 $X_w(b)$를 $G(χζ F)/χκ$ 위의 인드-스키마로 정의한다.
• 일반화된 $σ$-중앙자 $\mathbb{J}$의 원소들에 대한 상대적 위치 사상 $\mathrm{inv}_K(j,g)$를 통해 $Π$-분할을 정의하며, 이로 인해 분할이 국소적으로 닫힌 집합이 됨을 보장한다.
• 루스티그의 고전적 덜레인-루스티그 다양체에 대한 결과를 적용하여, 브라하트-티츠 분할이 $Π$-분할의 세분화임을 보인다.
• 특히 $w_0$-곱에서의 부분표현 분석과 웰 군 원소의 지지집합을 분석함으로써, 아핀 웰 군 내 조합론적 추론을 활용한다.
• 아핀 딜링크 다이어그램과 $σ$-안정 부분집합 $\Sigma$, $\Sigma'$의 구조를 이용하여 $P' \not\subseteq P$인 경우를 분석하며, 특히 지지집합이 선형 순서가 아닌 경우인 $\tilde{B}$ 유형에서의 분석을 포함한다.
• 레마 3.14를 적용하여, 일부 $v \in \tilde{\mathbb{S}} \setminus K$에 대해 $s_v$가 $w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'}$의 지지집합에 속함을 보이며, 이는 $W_K$에 속하지 않음을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 덜레인-루스티그 다양체의 코xeter 유형 전반에 걸쳐, $σ$-중앙자 $\mathbb{J}$의 원소들에 대한 상대적 위치를 통해 정의된 $Π$-분할이 항상 브라하트-티츠 분할과 일치하는가?
• RQ2 비-초스펙트럴 수준 구조를 가정하지 않고도, $Π$-분할이 국소적으로 닫힌 부분집합들로의 진정한 분할로 엄밀히 정의될 수 있는가?
• RQ3 확장된 아핀 웰 군의 조합론과 $X_w(b)$의 분할 기하학적 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 특히 $σ$-안정 부분집합 $\Sigma$, $\Sigma'$의 지지집합이 선형 순서가 아닐 경우, 분할은 어떻게 행동하며, 여전히 동치성이 확립될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 코xeter 유형 아핀 덜레인-루스티그 다양체에서 $Π$-분할과 브라하트-티츠 분할이 일치함을 확인하였으며, 이는 채문과 비에르만의 추측을 확인한다.
• 비-초스펙트럴 수준 구조를 가정하지 않더라도 $Π$-분할이 국소적으로 닫힌 부분집합들로의 진정한 분할임을 보였다.
• 증명은 $w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'} \not\in W_K$임을 보임으로써 이루어지며, 이는 어떤 $v \in \tilde{\mathbb{S}} \setminus K$에 대해 $s_v \in \mathrm{supp}(w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'})$임을 보여, 이중 코스비트의 불일치를 유도한다.
• 특히 $\Sigma \cap P \neq \emptyset$ 이면서 $P' \not\subseteq P$인 핵심 케이스에서는 아핀 딜링크 다이어그램 상의 경로를 이용해 레마 3.14의 조건을 만족하는 수열 $t_0, \dots, t_r$을 정의한다.
• 핵심 기술적 단계는 $\Sigma = \{t_0\}$ 이고 $w_1$이 $W_P w_1 W_{P'}$에서 비자명할 경우 $t_0 \in \mathrm{supp}(w_1)$임을 보이는 것으로, 이는 $s_v \in \mathrm{supp}(w_{0,P}w_2w_1w_{0,P'})$를 보장한다.
• 결과는 $\tilde{B}$-유형의 비선형 순서 지지집합을 포함한 모든 코xeter 유형 케이스에 대해 균일하게 성립하며, 특히 이 경우에서 증명이 가장 섬세하게 이루어진다.