[論文レビュー] E-semigroups over closed convex cones

Anbu Arjunan, R. Srinivasan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ℝᵈにおける閉凸錐上に定義されたE₀-半群を導入し、1パラメータのE₀-半群理論を多パラメータ設定に一般化する。コンパクト作用素を保存するE₀-半群の構造定理を確立し、CCRフローをそのユニットおよびゲージ群によって完全に特徴づける。主な貢献は、2パラメータCCRフローの非可算族を構成し、それらが互いにコycle同型でないことを示したことである。これは、1パラメータの場合をはるかに超える豊かな分類構造を示している。

ABSTRACT

We initiate a study of E-semigroups over convex cones. We prove a structure theorem for E-semigroups which leave the algebra of compact operators invariant. Then we study in detail the CCR flows, E$_0$semigroups constructed from isometric representations, by describing their units and gauge groups. We exhibit an uncountable family of $2-$parameter CCR flows, containing mutually non-cocycle-conjugate E$_0$-$semigroups.

研究の動機と目的

• ℝᵈ内の閉凸錐にインデックスづけられたE₀-半群の体系的かつ系統的な研究を開始すること。これは、1パラメータのE₀-半群理論を一般化することを目的とする。
• ユニットおよびゲージ群の分析を通じて、凸錐上でのCCRフローの特徴づけをすること。
• 特に、Wold分解が成立しない多パラメータ設定において、コycle同型に関してE₀-半群を区別すること。
• 非可算個の非コycle同型な2パラメータCCRフローを構成し、分類すること。
• コンパクト作用素を保存するE₀-半群のArvesonの構造定理を多パラメータ設定に拡張すること。

提案手法

• σ-弱連続性と正規*-自己準同型を用いて、ℝᵈの閉凸錐P ⊂ ℝᵈ（Pは全空間を張り、鋭い）上でE₀-半群を定義する。
• Arvesonの定理を一般化し、コンパクト作用素代数を保存するE₀-半群を分類し、多パラメータ設定におけるArveson-Wigner定理を確立する。
• ヒルベルト空間上の等長表現を用いて、錐上での2次量子化を用いてCCRフローを構成する。
• 相互作用等長作用素を用いてE₀-半群のユニットを定義し、それらが関連する等長表現の加法的コycleによって完全に決定されることを示す。
• CCRフローのゲージ群を明示的に計算し、それらを基礎となるヒルベルト空間のユニタリ群と関連付ける。
• コhomological不変量およびフォン・ノイマン代数の技法を用いて、コycle同型類を区別する。特に、ゲージ群の同型型を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉凸錐上に定義されたE₀-半群を、1パラメータの場合をはるかに超えて、どのように体系的に定義・分類できるか。
• RQ2 多パラメータ設定において、コンパクト作用素代数を保存するE₀-半群の構造はいかなるものか。
• RQ3 凸錐上でのCCRフローのユニットおよびゲージ群は、1パラメータの場合のそれらとどのように異なるか。
• RQ4 2パラメータの場合に、非可算個の非コycle同型なE₀-半群を構成できるか。
• RQ5 等長表現のコhomological不変量は、関連するCCRフローのコycle同型類をどの程度決定するか。

主な発見

• 非可算個の2パラメータCCRフローが存在し、それらは互いに非コycle同型である。これは、多パラメータ設定における豊かな分類構造を示している。
• 等長表現に付随するCCRフローのゲージ群は、基礎となるヒルベルト空間のユニタリ群と同型であり、この不変量がコycle同型類を区別する。
• CCRフローにおいて、ユニットは関連する等長表現の加法的コycleによって完全に決定され、1パラメータの場合の一般化である。
• 標準形にあるE₀-半群のコycle同型は、同型に帰着されることを示し、1パラメータの場合に知られている結果を拡張した。
• 等長表現のフォン・ノイマン代数はB(ℋ)に同型であり、この代数的不変量は同型に関して保存される。
• 2つのCCRフローがコycle同型であるならば、それらに付随する等長表現は同一の多重度と同一のパrameter aを持つ必要があり、aがコycle同型類の完全不変量であることが示された。