[論文レビュー] Edwards curves and CM curves

François Morain|ArXiv.org|Apr 15, 2009

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 17被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、j-不変量パラメータ化およびKubertのモジュラー曲線X₀(2)とX₀(4)を用いて、エドワーズ曲線、モナコム曲線、複素乗乗法（CM）を持つ楕円曲線の明示的関係を確立する。有限体上での完全またはねじれエドワーズ形式を許容するCM曲線を分類し、元の曲線がそれらを許容しない場合に同種曲線を用いることで完全エドワーズ形式を達成できることを示し、暗号応用における主要な制限を解消する。

ABSTRACT

Edwards curves are a particular form of elliptic curves that admit a fast, unified and complete addition law. Relations between Edwards curves and Montgomery curves have already been described. Our work takes the view of parameterizing elliptic curves given by their j-invariant, a problematic that arises from using curves with complex multiplication, for instance. We add to the catalogue the links with Kubert parameterizations of X0(2) and X0(4). We classify CM curves that admit an Edwards or Montgomery form over a finite field, and justify the use of isogenous curves when needed.

研究の動機と目的

• 有限体上、エドワーズ形式またはモナコム形式に表現可能な複素乗乗法（CM）を持つ楕円曲線を分類すること。
• Kubertのパラメータ化を用いて、CM曲線、j-不変量、およびモジュラー曲線X₀(2)とX₀(4)の間の関係を確立すること。
• CMベースの暗号応用における完全でないエドワーズ形式の問題を解消するため、同種曲線が代替として使用可能であることを示すこと。
• 判別式およびねじれ構造に基づいて、CM曲線が完全またはねじれエドワーズ形式を許容するかどうかを判定するためのアルゴリズム的基準を提供すること。

提案手法

• j-不変量パラメータ化を用いてCM楕円曲線を分類し、モジュラー曲線X₀(2)とX₀(4)と関連付ける。
• X₀(2)およびX₀(4)のKubertのパラメータ化を適用し、曲線がモナコム形式またはエドワーズ形式を許容する明示的条件を導出する。
• 分割多項式f₄(X)およびねじれ点解析を用いて4次ねじれ点の存在と有理2次ねじれ構造の有無を特定する。
• 同種理論を用いて、完全エドワーズ形式を許容しない曲線を、同種類に属する完全エドワーズ形式を許容する曲線に置き換える。
• Dirichletの類数および曲率理論を適用し、二進形式による素数の表現可能性を決定し、曲線の存在条件と関連付ける。
• 代数的数論の結果（例えば、環類体における素数の分解）を適用し、CM曲線の判別式が対応する体において平方数であるかどうかを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上、どのCM楕円曲線が完全またはねじれエドワーズ形式に表現可能か？
• RQ2 CM曲線のj-不変量は、それがモナコム形式またはエドワーズ形式にパラメータ化可能かどうかを特定するためにどのように利用できるか？
• RQ3 CM曲線が完全エドワーズ形式を許容しない条件は何か？また、その場合に同種曲線を代替として使用できるか？
• RQ4 2次ねじれ点および4次ねじれ点は、エドワーズ形式またはモナコム形式の存在を決定するために果たす役割は何か？
• RQ5 CMの整域の判別式および類数の算術的性質は、このようなパラメータ化の存在にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 曲線が完全エドワーズ形式を許容するための必要十分条件は、底体上に4次有理点および一意の2次有理点を持つことである。
• 主理想の整域によるCMを持つ曲線は、完全エドワーズ形式を許容できないが、モナコム形式を許容できる場合がある。
• 1つの有理2次ねじれ点を持つタイプIの曲線では、判別式が底体において平方数であり、パラメータdが平方数でない場合に完全エドワーズ形式が存在する。
• CM曲線が完全エドワーズ形式を許容しない場合、同じ同種類に属する同種曲線を用いることで代替が可能であることが、同種降下および類体論によって示された。
• 有理4次ねじれ点の存在は、特性≠2の体上でのねじれエドワーズ曲線への双有理同型の成立にとって必要かつ十分条件である。
• 判別式D = -4mの場合、4次ねじれ点が存在するのはm ≡ 0または3 (mod 4)のときであり、その存在はp = (U² - DV²)/4の分解性およびヤコビ記号χ₄(p)とχ₈(p)の値に依存する。