[論文レビュー] Effect of the inner horizon on the black hole thermodynamics: Reissner-Nordström black hole and Kerr black hole

G. E. Volovik|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Reissner-NordströmおよびKerrブラックホールのエントロピーとホーキング温度が、電荷$Q$や角運動量$J$に依存せず、質量$M$にのみ依存することを示している。半古典的トンネル効果、コトンネル効果、マクロな量子トンネル効果、断熱的変形といった複数の手法を用いて、内側の事象の地平線と外側の事象の地平線の相関が$Q$および$J$への依存性を抑制することを示し、シュバルツシルト解と同一のエントロピー$S = 4\bar{\rho} M^2$が得られることを示している。

ABSTRACT

For the Schwarzschild black hole the Bekenstein-Hawking entropy is proportional to the area of the event horizon. For the black holes with two horizons the thermodynamics is not very clear, since the role of the inner horizons is not well established. Here we calculate the entropy of the Reissner-Nordström black hole and of the Kerr black hole, which have two horizons. For the spherically symmetric Reissner-Nordström black hole we used several different approaches. All of them give the same result for the entropy and for the corresponding temperature of the thermal Hawking radiation. The entropy is not determined by the area of the outer horizon, and it is not equal to the sum of the entropies of two horizons. It is determined by the correlations between the two horizons, due to which the total entropy of the black hole and the temperature of Hawking radiation depend only on mass $M$ of the black hole and do not depend on the black hole charge $Q$. For the Kerr and Kerr-Newman black holes it is shown that their entropy has the similar property: it depends only on mass $M$ of the black hole and does not depend on the angular momentum $J$ and charge $Q$.

研究の動機と目的

• Reissner-NordströmおよびKerrブラックホールのような二重地平線系におけるブラックホール熱力学の曖昧さを解消すること。
• 内側の地平線が全エントロピーとホーキング温度を決定する役割を明確化すること。
• エントロピーと温度が電荷$Q$および角運動量$J$に依存せず、質量$M$にのみ依存することを示すこと。
• トンネル効果、コトンネル効果、量子トンネル効果、断熱的変形といった複数の理論的アプローチを統合し、結果の一貫性を確認すること。
• 断熱的プロセスを通じて電荷および角運動量保存則との顕在的矛盾を解消すること。

提案手法

• 半古典的トンネル効果を用いて、$Q$に依存しない修正ホーキング温度$\tilde{T}_{\rm H} = \frac{1}{8\pi M}$を計算した。
• 放射線が両方の地平線を貫いてコherentにトンネルするコトンネルメカニズムを定式化し、温度積$\exp(-E/\tilde{T}_{\rm H}) = \exp(-E/T_+) \times \exp(-E/T_-)$を導出した。
• 特異な座標変換を用いてブラックホールとホワイトホール状態間のマクロな量子トンネル効果を適用し、エントロピー$\tilde{S}_{\rm RN} = 4\pi M^2$を導出した。
• 微細構造定数$\alpha \to 0$の断熱的変形を用いて、電荷を持つブラックホールをエントロピー変化なしに中性のものに変換した。
• 角運動量$J$を保存したまま回転をゼロに減少させるために、$\hbar \to \infty$にすることによりKerrブラックホールに対しても断熱的アプローチを拡張した。
• 熱力学的関係$d\tilde{S}_{\rm RN} = d(4\pi M^2) = dM / \tilde{T}_{\rm H}$を通じて、複数の手法間の一貫性を確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内側の地平線がReissner-Nordströmブラックホールの全エントロピーとホーキング温度に与える影響は何か？
• RQ2 内側の地平線が存在するにもかかわらず、二重地平線ブラックホールのエントロピーが電荷$Q$に依存しないことは可能か？
• RQ3 Kerrブラックホールのエントロピーはその角運動量$J$に依存するのか、それとも質量$M$にのみ依存するのか？
• RQ4 電荷または角運動量を保存する断熱的プロセスが、シュバルツシルトに類似した状態へのエントロピー保存的遷移を可能にするか？
• RQ5 地平線の相関が、シュバルツシルトブラックホールと一致する温度およびエントロピーを生じる役割は何か？

主な発見

• Reissner-Nordströmブラックホールのエントロピーは$\tilde{S}_{\rm RN} = 4\pi M^2$であり、電荷$Q$に依存せず、複数の手法で確認された。
• 修正ホーキング温度$\tilde{T}_{\rm H} = \frac{1}{8\pi M}$は質量$M$にのみ依存し、$Q$に依存せず、シュバルツシルト解と一致する。
• 放射過程は両方の地平線を貫く相関のあるコトンネル現象であり、全熱的要因は個々の地平線寄与の積として表される。
• $\alpha \to 0$への断熱的還元により、電荷を持つブラックホールがエントロピー変化なしに中性のものに変換され、$S = 4\pi M^2$がすべての$Q$に対して成り立つことを支持する。
• Kerrブラックホールに対しては、断熱的$\hbar \to \infty$極限を用い、エントロピーが$M$にのみ依存し、$S_{\rm Kerr}(J,M) = 4\pi M^2 / E_P^2$となることが示された。
• この結果はKerr–Newmanブラックホールへ拡張され、$S_{\rm KN}(J,Q,M) = 4\pi M^2 / E_P^2$となり、$J$および$Q$に依存せず、準正規モードの量子化と整合的である。