[論文レビュー] Effective actions of SU_n on complex n-dimensional manifolds

Alexander Isaev, N. G. Kruzhilin|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2003

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 2$ に対して、$SU_n$ のbiholomorphic変換による有効作用を許容するすべての連結な複素 $n$ 次元多様体を分類する。その結果、このような多様体は $\mathbb{C}^n$、単位球体 $B^n$、$\mathbb{C}P^n$、あるいは $U_n$ の中心の離散部分群による商空間にbiholomorphically同値であることが示され、$n=2$ の特別な場合には球殻やホフマン多様体に非標準的な複素構造を備えたものも含まれる。

ABSTRACT

For $n\ge 2$ we classify all connected n-dimensional complex manifolds admitting effective actions of the special unitary group SU_n by biholomorphic transformations.

研究の動機と目的

• $n \geq 2$ に対して、$SU_n$ のbiholomorphic変換による有効作用を許容するすべての連結な複素 $n$ 次元多様体を分類すること。
• そのような作用における軌道の構造を特定し、実超曲面と複素超曲面の区別を行うこと。
• 特に固定点のない場合に、軌道を貼り合わせることで得られる多様体を同定すること。
• 複素超曲面軌道を含む場合の分類を拡張し、$n=2$ の例外的な場合（非標準的な複素構造を有する球殻やホフマン多様体を含む）を扱うこと。
• 次元 $k < n$ の多様体には有効な $SU_n$ 作用が存在しないこと、したがってこの分類が次元的に最小であることを確立すること。

提案手法

• 固定点における等長部分群および線形等長表現を分析し、[GK] および [BDK] の結果を用いて、固定点をもつ多様体を分類する。
• $\mathfrak{su}_n$-反カノニカル写像を $SU_n$-不変として用い、等変写像の拡張に用いる holomorphic 曲線の族を構成する。
• 軌道の補集合上で定義された holomorphic 写像に対する等変拡張技術を適用し、群作用の不変性により連続性および holomorphic 性を保証する。
• 明示的な biholomorphic 写像（例：$f_\nu$、$f_\sigma$、$f_\tau$）を、$\widehat{B^n}/\mathbb{Z}_m$、$\widehat{\mathbb{C}^n}/\mathbb{Z}_m$、$%nolink$ のようなモデル多様体へ構成する。
• $U_n$ の中心の離散部分群による商構成を用いて、特に $n=2$ の場合に追加の例を生成する。
• 等長部分群および測地線族を含む幾何学的・群論的技法を適用し、写像が全多様体へ正しく拡張されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 2$ に対して、どの複素 $n$ 次元多様体が $SU_n$ のbiholomorphic変換による有効作用を許容するか？
• RQ2 そのような作用における軌道の構造は？特に、実超曲面または複素超曲面である条件は？
• RQ3 軌道をどのように貼り合わせて全多様体を再構成できるか？その結果得られるモデル多様体は何か？
• RQ4 $n=2$ の場合に、球殻やホフマン多様体に非標準的な複素構造を有する例外的なケースは存在するか？
• RQ5 このような多様体は biholomorphic 同値性の観点から完全に分類可能か？また、有効性がこの分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 固定点をもつ多様体は、$\mathbb{C}^n$、単位球体 $B^n$、$\mathbb{C}P^n$ にbiholomorphically同値である。
• $n \geq 3$ の場合、実超曲面軌道のみをもつ多様体は、$\mathbb{C}^n$ 内の球殻、ホフマン多様体、または $U_n$ の中心の離散部分群による商に同値である。
• $n=2$ の場合、$\mathbb{C}^2$ 内の球殻に $\mathbb{C}P^2 \setminus \{0\}$ から引き継がれる非標準的な複素構造を備えた追加のモデルが生じる。
• 複素超曲面軌道が存在する場合、その数は最大で2つであり、それらは $\mathbb{C}P^{n-1}$ にbiholomorphically同値である。これは $\mathbb{C}^n$ や $B^n$ の吹き上げまたはコンパクト化から生じる。
• $n=2$ の場合、$\mathbb{C}P^2 \setminus \{0\}$ 内の球体の外部に非標準的な複素構造を備え、$\infty \in \mathbb{C}P^2$ を付加した多様体も分類に含まれる。
• 分類は完全かつ最小である：次元 $k < n$ の多様体には有効な $SU_n$ 作用は存在せず、有効性は結果の成立に不可欠である。