[論文レビュー] Efficient algorithm for a quantum analogue of 2-SAT

Sergey Bravyi|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2006

graph theory and CDMA systems被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、n ビットの量子状態が、すべての2ビット部分密度行列が所定の部分空間に直交するかどうかを決定する問題である、量子2-SATを解く古典的多項式時間アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、局所的整合性ルールを用いて古典的2-SATソルバを一般化し、量子2-SATが有効に解けることを証明する一方で、k ≥ 4 の量子k-SATは片側誤差を伴うQMA完全である。

ABSTRACT

Complexity of a quantum analogue of the satisfiability problem is studied. Quantum k-SAT is a problem of verifying whether there exists n-qubit pure state such that its k-qubit reduced density matrices have support on prescribed subspaces. We present a classical algorithm solving quantum 2-SAT in a polynomial time. It generalizes the well-known algorithm for the classical 2-SAT. Besides, we show that for any k>=4 quantum k-SAT is complete in the complexity class QMA with one-sided error.

研究の動機と目的

• 部分密度行列への制約として、古典的2-SAT問題の量子版を定義すること。
• 古典的2-SATアルゴリズムを一般化し、量子2-SATが多項式時間で解けるかどうかを特定すること。
• k ≥ 4 の量子k-SATの複雑性を確立し、特に片側誤差を伴うQMA完全性を示すこと。
• 局所的対称性および不変性原理を用いて、既存の制約から新しい制約を構成的に生成する方法を提供すること。

提案手法

• 量子2-SATを、すべての2ビット射影子 Π_{a,b} に対して Π_{a,b}|Ψ⟩ = 0 を満たすnビット状態 |Ψ⟩ を見つける問題として定義する。
• 量子ビットの入れ替えにおける局所的不変性を用いて、既存の2ビット制約から新しい制約を導出できる Lemma 1 を導入する。
• 1つのビットずつ削除することでnビット問題を(n−1)ビット問題に帰着する帰納的アルゴリズムを用いる。
• 量子回路からハミルトニアン H = H_init + H_clock + H_prop + H_out を構築し、量子4-SATのQMA完全性を証明する。
• ハミルトニアンの基底状態エネルギーが0であることは、元の量子回路が確率1で受理されることと同値であることを示す。
• Kitaev-Vidickの構成を用いて、否定的インスタンスにおいて基底状態エネルギーが多項式ギャップで下から抑えられることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子2-SATは、古典的2-SATの線形時間アルゴリズムに類似した、多項式時間古典的アルゴリズムで解けるか？
• RQ2 k ≥ 4 の量子k-SATの計算複雑性は何か？ また、片側誤差を伴うQMAに属するか？
• RQ3 局所的対称性および不変性原理を用いて、既存の制約から新しい2ビット制約を導出できるか？
• RQ4 制約が任意の2ビット状態への射影子によって定義される場合、量子2-SAT問題は依然として有効に解けるか？
• RQ5 量子回路の受理行動を、基底状態エネルギーが0であるかぎり、回路が確率1で受理する場合に限って表現できるような局所的ハミルトニアンに符号化できるか？

主な発見

• 量子2-SATは、局所的制約伝播に基づく帰納的アルゴリズムを用いて、古典的多項式時間で解ける。
• アルゴリズムは、Lemma 1 を用いて、量子ビットの入れ替えにおける不変性から、既存の制約から新しい制約を生成することで、古典的2-SATソルバを一般化する。
• k ≥ 4 の場合、量子k-SATは片側誤差を伴うQMA完全であり、複雑性の鋭い境界を示す。
• 構築されたハミルトニアンの基底状態エネルギーが0であることは、入力量子回路が確率1で受理されることと同値である。
• 否定的インスタンスでは、基底状態エネルギーが多項式 q(|x|) に対して 1/q(|x|) 以上で抑えられ、非無視可能なギャップが保証される。
• この構成は、クロックレジスタと4局所的射影子を用いて回路の時間発展を符号化し、全ハミルトニアンは4量子ビット射影子の和として表現可能である。