[論文レビュー] Efficient classical algorithms for simulating symmetric quantum systems

Eric R. Anschuetz, Andreas Bauer+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 53被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、特に置換不変ハミルトニアンを含む対称量子系を、多項式サイズのブロック対角シュール基底への演算子変換によって、効率的な古典的アルゴリズムでシミュレートする手法を提示する。この基底におけるテンソルネットワーク法と正確な行列演算を用いることで、基底状態および時間発展期待値の多項式時間計算を達成し、量子優位性が対称性に起因する場合でも、このような問題に対しては常に必要ではないことを示している。

ABSTRACT

In light of recently proposed quantum algorithms that incorporate symmetries in the hope of quantum advantage, we show that with symmetries that are restrictive enough, classical algorithms can efficiently emulate their quantum counterparts given certain classical descriptions of the input. Specifically, we give classical algorithms that calculate ground states and time-evolved expectation values for permutation-invariant Hamiltonians specified in the symmetrized Pauli basis with runtimes polynomial in the system size. We use tensor-network methods to transform symmetry-equivariant operators to the block-diagonal Schur basis that is of polynomial size, and then perform exact matrix multiplication or diagonalization in this basis. These methods are adaptable to a wide range of input and output states including those prescribed in the Schur basis, as matrix product states, or as arbitrary quantum states when given the power to apply low depth circuits and single qubit measurements.

研究の動機と目的

• 高次対称性、特に置換不変ハミルトニアンを有する量子系が、古典的アルゴリズムによってどのように効率的にシミュレートできるかを調査すること。
• 対称性に依存して量子優位性を達成する量子アルゴリズムが、多項式実行時間で古典的にエミュレート可能かどうかを特定すること。
• 対称性低減基底における古典的線形代数を用いた基底状態および時間発展観測値の計算フレームワークを構築すること。
• クイジットへの拡張を含め、局所次元と系サイズに対する実行時間スケーリングを分析すること。

提案手法

• テンソルネットワーク法を用いて、対称性を保つ演算子をブロック対角シュール基底に変換し、ヒルベルト空間を多項式サイズに縮小する。
• d次元クイジットに対して、対称化されたパウリ基底を結合次元 O(n^{d^2-1}) のテンソル積演算子（MPO）として表現する。
• シュール基底における正確な行列乗算および対角化を実行し、基底状態および時間発展を計算する。
• クリービッチ＝ゴーデン係数を用いてMPOテンソルを効率的に縮約し、バンド対角構造を維持することで低コストな演算を実現する。
• 群表現論を活用して、対称部分空間を不変部分空間に分解し、効率的な計算を可能にする。
• 任意の演算子を不変部分空間上に射影するためのツイリングスーパーオペレータを適用し、対称性の保持を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換不変ハミルトニアンの基底状態および時間発展が、多項式時間で古典的アルゴリズムによってシミュレート可能か。
• RQ2 量子系における対称性が、潜在的な量子優位性がある中でも、効率的古典的シミュレーションを可能にする条件は何か。
• RQ3 対称ハミルトニアンの古典的シミュレーションの実行時間は、系サイズおよび局所クイジット次元に対してどのようにスケーリングするか。
• RQ4 シュール基底を用いて、古典的線形代数で対称量子演算子を効率的に表現・計算可能か。
• RQ5 対称性に依存する量子機械学習モデルは、どの程度古典的手法で脱量子化可能か。

主な発見

• 著者らは、対称化されたパウリ基底における置換不変ハミルトニアンの基底状態および時間発展期待値を、多項式時間で古典的にシミュレートすることに成功した。
• 行列要素 Xi,j^k の計算には O(n^6)、すべての O(n^9) の係数に対しては O(n^15) がかかるが、いずれも系サイズに対して多項式的である。
• 局所次元 d のクイジットに対して、実行時間は O(n^{2d^2 - 1}) にスケーリングし、多項式的ではあるが d が増加すると急激に増加する（例：三値クイジットでは O(n^{17})）。
• シュール基底は、全ヒルベルト空間が指数的サイズであるにもかかわらず、n に対して多項式サイズの空間で正確な対角化と行列乗算を可能にする。
• 本手法は、シュール基底、テンソル積状態、または低深さ回路と単一クビット測定にアクセス可能な任意の状態といった、さまざまな入出力状態に適応可能である。
• 本フレームワークは、量子アルゴリズムが対称性に依存して計算的優位性を発揮する場合でも、同じ対称性制約のもとで古典的シミュレーションが可能であることを示している。