[論文レビュー] Efficient Computation of Higher-Order Variational Integrators in Robotic Simulation and Trajectory Optimization

Taosha Fan, Jarvis Schultz+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Numerical methods for differential equations被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、ロボットシミュレーションおよび軌道最適化における高次変分積分法の計算に関して、初めてのO(n)アルゴリズムを提示する。これにより、任意の次数の積分法に対して、離散的オイラー＝ラグランジュ方程式およびニュートン方向の線形時間評価が可能になる。本手法は、DEL方程式の線形化をO(n²)で行い、従来のO(n³)手法に比べて大幅にスケーラビリティと正確性が向上している。アトラスやリトルドッグのような複雑なロボットでも検証済みである。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of efficiently computing higher-order variational integrators in simulation and trajectory optimization of mechanical systems as those often found in robotic applications. We develop $O(n)$ algorithms to evaluate the discrete Euler-Lagrange (DEL) equations and compute the Newton direction for solving the DEL equations, which results in linear-time variational integrators of arbitrarily high order. To our knowledge, no linear-time higher-order variational or even implicit integrators have been developed before. Moreover, an $O(n^2)$ algorithm to linearize the DEL equations is presented, which is useful for trajectory optimization. These proposed algorithms eliminate the bottleneck of implementing higher-order variational integrators in simulation and trajectory optimization of complex robotic systems. The efficacy of this paper is validated through comparison with existing methods, and implementation on various robotic systems---including trajectory optimization of the Spring Flamingo robot, the LittleDog robot and the Atlas robot. The results illustrate that the same integrator can be used for simulation and trajectory optimization in robotics, preserving mechanical properties while achieving good scalability and accuracy.

研究の動機と目的

• 高自由度ロボットシステムのシミュレーションおよび最適化において、高次変分積分法を用いる際の計算ボトルネックを解消すること。
• 従来のニュートン方向の計算および離散的オイラー＝ラグランジュ（DEL）方程式の線形化において、O(n³)の超線形的複雑性を克服すること。
• DEL方程式の評価およびニュートン方向の計算をO(n)で行うアルゴリズムを開発し、効率的で高次元の積分を可能とすること。
• DEL方程式の線形化をO(n²)で行うアルゴリズムを提供し、ロボット工学における軌道最適化に不可欠な要因を実現すること。
• 同じ高次変分積分法が、機械的保存量を保持したまま、シミュレーションと最適化の両方で効果的に使用可能であることを示すこと。

提案手法

• 木構造の機械的システムと再帰的アルゴリズムを活用し、空間的ヤコビ行列および質量特性を効率的に計算すること。
• 重力ポテンシャルエネルギーのヘッセ行列およびその微分をO(n²)時間で計算するための再帰的前向きおよび後向きパスを導入すること。
• 剛体運動を表現するためのリー群の定式化を用い、数値的に安定な方法で配置と速度を表現すること。
• 重力ポテンシャルエネルギーのヘッセ行列を再帰的アルゴリズムで計算し、DEL方程式のO(n²)線形化を可能とすること。
• 再帰的スイープを用いて、離散的オイラー＝ラグランジュ方程式の評価およびニュートン方向の計算をO(n)で行うアルゴリズムを設計すること。
• 木構造に基づく枠組み内で記号的およびアルゴリズム的微分を活用し、密行列演算を回避することで線形複雑性を維持すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多数の自由度を持つロボットシステムに対して、高次変分積分法を線形時間で計算できるか？
• RQ2 高次変分積分法における離散的オイラー＝ラグランジュ方程式のニュートン方向をO(n)で計算可能か？
• RQ3 DEL方程式の線形化をO(n²)時間で行うことは可能か？これにより、効率的な軌道最適化が可能になるか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、線形時間複雑性を達成しつつ、シンプレクティック性、運動量保存、エネルギー保存を保持できるか？
• RQ5 同じ高次積分法を、複雑なロボットシステムのシミュレーションと軌道最適化の両方で効果的に使用できるか？

主な発見

• 離散的オイラー＝ラグランジュ方程式の評価およびニュートン方向の計算をO(n)で行う本手法は、機械的システムにおける最初の既知の線形時間高次陰解法積分法を実現した。
• DEL方程式の線形化をO(n²)で行うアルゴリズムにより、高次精度とスケーラビリティを備えた効率的な軌道最適化が可能になった。
• 特に自由度の多いシステムにおいて、従来のO(n³)手法に比べて顕著な計算効率の向上を達成した。
• スプリングフラミンゴ、リトルドッグ、アトラスロボットを用いた検証により、シミュレーションおよび最適化の両タスクにおいて高い正確性とスケーラビリティが確認された。
• 同じ積分法が、シンプレクティック性およびエネルギー保存といった機械的保存量を保持したまま、シミュレーションと軌道最適化の両方で成功裏に使用された。
• アルゴリズムフレームワークにより、実用的に任意の高次変分積分法の使用が可能になり、これまでの計算的障壁が克服された。