[論文レビュー] Efficient Computation of Newton Polytopes of Specialized Resultants

Ioannis Z. Emiris, Vissarion Fisikopoulos+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、頂点および面クエリのオラクルを用いて、コストの高いポリトープウォークを回避する、効率的で出力に敏感なアルゴリズムを提示する。この手法により、5次元、6次元、7次元のポリトープ（最大35,000頂点）を2時間未塔で処理でき、ハッシュ化により最大100倍の高速化を達成。低次元ではトロピカル幾何学ツールを上回り、正確で高速な内部・外部体積近似が可能となる。

ABSTRACT

We design an algorithm to compute the Newton polytope of the resultant, known as resultant polytope, or its orthogonal projection along a given direction. The resultant is fundamental in algebraic elimination, optimization, and geometric modeling. Our algorithm exactly computes vertex- and halfspace-representations of the polytope using an oracle producing resultant vertices in a given direction, thus avoiding walking on the polytope whose dimension is alpha-n-1, where the input consists of alpha points in Z^n. Our approach is output-sensitive as it makes one oracle call per vertex and facet. It extends to any polytope whose oracle-based definition is advantageous, such as the secondary and discriminant polytopes. Our publicly available implementation uses the experimental CGAL package triangulation. Our method computes 5-, 6- and 7-dimensional polytopes with 35K, 23K and 500 vertices, respectively, within 2hrs, and the Newton polytopes of many important surface equations encountered in geometric modeling in <1sec, whereas the corresponding secondary polytopes are intractable. It is faster than tropical geometry software up to dimension 5 or 6. Hashing determinantal predicates accelerates execution up to 100 times. One variant computes inner and outer approximations with, respectively, 90% and 105% of the true volume, up to 25 times faster.

研究の動機と目的

• 代数幾何学および幾何的モデリングにおける高次元の結果式のノイザン多面体の計算不能性に対処すること。
• 次元数や点の数が増えるとスケーリングが著しく悪化するポリトープウォークアルゴリズムの限界を克服すること。
• オラクル呼び出しを最小限に抑え、頂点および面の全列挙を避ける出力に敏感な手法を開発すること。
• 二次多面体および判別式多面体など、オラクルに基づく定義を持つ他の多面体に対してもこのアプローチを拡張すること。
• 幾何的モデリングおよび最適化分野における実世界の応用に向けた実用的で高性能な実装を提供すること。

提案手法

• 特定の方向における結果式多面体の頂点および面を返すオラクルを用い、多面体全体の構造を走査することなく正確な計算を可能にする。
• 頂点および半空間表現戦略を採用し、各頂点および各面に対して正確に1回のオラクル呼び出しを行うことで、出力に敏感な性能を実現する。
• 実験的幾何計算を支援するため、CGALのトリアングレーションパッケージを活用し、高次元多面体の構築を可能にする。
• 行列式述語のハッシュ化を導入し、オラクルクエリを高速化することで、実行時間に最大100倍の高速化を達成する。
• 内部および外部体積近似を計算する変種を実装し、それぞれ真の体積の90%および105%の精度を達成することで、性能向上を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結果式のノイザン多面体は、その構造を完全に走査せずに効率的に計算可能か？
• RQ2 高次元の結果式に対して、従来のポリトープウォークと比較して、オラクルベースのアプローチはスケーラビリティおよびパフォーマンスで優れているか？
• RQ3 幾何的述語のハッシュ化は、結果式多面体の計算をどの程度高速化できるか？
• RQ4 この手法は、二次多面体や判別式多面体のように、オラクルに基づく定義を持つ他の多面体に対しても一般化可能か？
• RQ5 正確な計算と比較して、結果式多面体の内部および外部体積近似は、どの程度正確で効率的か？

主な発見

• 5次元、6次元、7次元の結果式多面体（それぞれ35,000、23,000、500頂点）を2時間未塔で計算可能である。
• 幾何的モデリングにおける重要な表面方程式のノイザン多面体は1秒未塔で計算可能であるが、その二次多面体は依然として計算不能である。
• 次元数が5または6未塔の範囲では、既存のトロピカル幾何学ソフトウェアを上回る性能を示す。
• 行列式述語のハッシュ化により、計算が最大100倍高速化される。
• 内部および外部体積近似バージョンは、正確な計算と比較して最大25倍高速であり、それぞれ真の体積の90%および105%の精度を達成する。
• 二次多面体や判別式多面体のように、オラクルに基づく定義を持つ他の多面体に対しても、このアプローチは一般化可能である。