[論文レビュー] Efficient implementation of finite element methods on non-matching and overlapping meshes in 3D

André Massing, Mats G. Larson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 42被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、3次元における非一致メッシュおよび重複メッシュ上でのニツェ法の効率的で汎用的な実装を提示する。計算幾何学的手法を活用してメッシュの交差検出およびカットセル上の積分を実現している。標準FEMと比較して約2倍の性能オーバーヘッドに留まり、最適収束率を達成しており、流体-構造挙動や弾性問題のような複雑な問題の安定的シミュレーションが可能である。

ABSTRACT

In recent years, a number of finite element methods have been formulated for the solution of partial differential equations on complex geometries based on non-matching or overlapping meshes. Examples of such methods include the fictitious domain method, the extended finite element method, and Nitsche's method. In all of these methods, integrals must be computed over cut cells or subsimplices which is challenging to implement, especially in three space dimensions. In this note, we address the main challenges of such an implementation and demonstrate good performance of a fully general code for automatic detection of mesh intersections and integration over cut cells and subsimplices. As a canonical example of an overlapping mesh method, we consider Nitsche's method which we apply to Poisson's equation and a linear elastic problem.

研究の動機と目的

• 3次元有限要素法における重複メッシュや非一致メッシュが形成する複雑なカットセルの積分処理における計算的課題に対処すること。
• 重複メッシュ技術を用いて、複雑な幾何形状や時間依存幾何形状に対しても安定的かつ高次の精度を持つPDEの解法を可能にすること。
• 計算幾何学分野の効率的アルゴリズムをFEniCS/DOLFIN有限要素フレームワークに統合し、より広いコミュニティでの利用を可能にすること。
• 線形弾性や流体-構造連成問題といった挑戦的な3次元問題において、ニツェ法に基づく手法の実現可能性と性能を示すこと。
• 将来の応用に向けて、FEniCSにおけるニツェ形式の自動コード生成の基盤を築くこと。

提案手法

• 重複する四面体メッシュ間の交差を効率的に検出するために、木構造に基づく探索構造を用いる。
• CGALやGTSといった計算幾何学ライブラリをDOLFINにラッピングし、メッシュの交差から生じる複雑な多面体的カットセルを計算する。
• 発散定理とポテンシャル関数を用いて、カットセル上の3次元体積積分を1次元の辺上積分に低次元化し、効率的な積分を実現する。
• 対称化された整合性項とペナルティ項を用いたニツェ法を実装し、界面を越えた連続性とフラックスのバランスを弱く強制する。
• 重複メッシュとバックグラウンドメッシュ上での連続的で多項式関数からなる関数空間の直和として有限要素空間を構築する。
• 幾何学的プリミティブと適応的ガウス求積法を用いて、部分単体およびカットセル上の弱形式のアセンブリを自動化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元有限要素法において、任意に複雑なカットセルのメッシュ交差検出および積分をどのように効率的に実装できるか？
• RQ2 標準FEMの一致メッシュを用いる場合と比較して、重複メッシュとニツェ法を組み合わせた場合の計算オーバーヘッドはどの程度か？
• RQ3 重複メッシュ上でのニツェ法を用いて、3次元において高次多項式近似の最適収束率を達成できるか？
• RQ4 プロペラ型のインクルージョンを含む複雑な幾何形状に対して、この手法はどの程度の性能を示すか？
• RQ5 FEniCSのようなハイレベルなFEMフレームワークでの利用を想定した場合、この実装は一般化可能で自動化可能か？

主な発見

• 本実装は、3次元の重複メッシュ上において、ポisson方程式および線形弾性問題の両方で最適の収束次数を達成している。
• 重複メッシュ法の計算オーバーヘッドは、標準FEMのアセンブリと比較して約2倍であり、メッシュサイズが大きくなるにつれてこの比は減少する。
• 本手法は、プロペラ型のインクルージョンのような複雑で時間依存の幾何形状に対しても効果的に対応でき、界面を越えて滑らかに変位場が連続していることが示された。
• 発散定理と幾何学的ポテンシャルを用いた3次元から1次元への積分低次元化により、カットセル上での積分が効率的に計算可能である。
• 本手法は一般性を有し、XFEM、埋め込み界面法、および重複メッシュ上での不連続ガラーキン法など、他の手法にも応用可能である。
• CGALとGTSのDOLFINへの統合により、有限要素コミュニティが利用可能な堅牢で再利用可能かつアクセス可能なツールが実現された。