[論文レビュー] Efficient Noise-Blind 𝓁 1 -Regression of Nonnegative Compressible Signals.

Hendrik Bernd Petersen, Bubacarr Bah+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 18被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、二値エクスパンダ行列を用いて、ノイズのレベルが未知の非負の可縮小信号をロバストでノイズに左右されない回復を行うために、非負の最小絶対偏差（NNLAD）を提案する。$ε$-ロバストなヌル空間性質の下で一様かつ安定した回復保証を確立し、効率的なスパーススケッチと回復を可能にした。これは、ピークノイズモデルを示すパンデミック時のグループテストにおいて特に有用である。

ABSTRACT

In compressed sensing the goal is to recover a signal from as few as possible noisy, linear measurements. The general assumption is that the signal has only a few non-zero entries. Given an estimate for the noise level a common convex approach to recover the signal is basis pursuit denoising (BPDN). If the measurement matrix has the robust null space property with respect to the $\ell_2$-norm, BPDN obeys stable and robust recovery guarantees. In the case of unknown noise levels, nonnegative least squares recovers non-negative signals if the measurement matrix fulfills an additional property (sometimes called the $M^+$-criterion). However, if the measurement matrix is the biadjacency matrix of a random left regular bipartite graph it obeys with a high probability the null space property with respect to the $\ell_1$-norm with optimal parameters. Therefore, we discuss non-negative least absolute deviation (NNLAD). For these measurement matrices, we prove a uniform, stable and robust recovery guarantee. Such guarantees are important, since binary expander matrices are sparse and thus allow for fast sketching and recovery. We will further present a method to solve the NNLAD numerically and show that this is comparable to state of the art methods. Lastly, we explain how the NNLAD can be used for group testing in the recent COVID-19 crisis and why contamination of specimens may be modeled as peaky noise, which favors $\ell_1$ based data fidelity terms.

研究の動機と目的

• ノイズレベルが未知である状況下で非負の可縮小信号を回復する課題に対処すること。これは、圧縮センシングにおける一般的な制限である。
• ノイズの大きさを事前に知る必要のない、安定性と正確性を維持するロバストでノイズに左右されない回復手法を開発すること。
• 二値エクスパンダ行列（例：左正則な二部グラフ）の構造的性質を活用して、高速かつスパースなスケッチと効率的な回復を実現すること。
• 回復の均一性、安定性、ロバスト性を保証する理論的枠組みを、$²$-ノルムに関する$ε$-ロバストなヌル空間性質に基づいて確立すること。
• 数値的手法と実世界の応用例（例：COVID-19パンデミック中のグループテスト）を通じて、NNLADの実用的妥当性を示すこと。

提案手法

• データ適合性に$²$-ノルムを用いる非負の最小絶対偏差（NNLAD）を提案し、ノイズに左右されない基底追跡ノイズ除去（BPDN）の代替手段とする。
• 二値エクスパンダ行列が、高い確率で最適なパrameterを有する$ε$-ロバストなヌル空間性質を満たすことを確立する。
• NNLADフレームワーク下での非負信号回復を保証するため、$M^+$-基準を用いる。
• ロバストなヌル空間性質を応用して、NNLADのための一様かつ安定でロバストな回復保証を導出する。
• NNLAD問題を効率的に解くための数値アルゴリズムを開発し、最先端の手法と同等の性能を達成する。
• グループテストにおける試料の汚染をピークノイズとしてモデル化し、NNLADのような$²$-ベースのデータ適合項が有利に働くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NNLADは、ノイズレベルの事前知識がなくても、非負の可縮小信号の安定的かつロバストな回復を達成できるか？
• RQ2 左正則な二部グラフ構造を持つ二値エクスパンダ行列は、最適なパrameterを有する$ε$-ロバストなヌル空間性質を満たすか？
• RQ3 数値的に、NNLADは既存の最先端の回復手法と比べて、正確性と効率性の面で優れているか？
• RQ4 NNLADは、試料の汚染を伴うプールテストのようなピークノイズを示すグループテストの場面に効果的に適用できるか？
• RQ5 NNLADに対して、$ε$-ロバストなヌル空間性質の枠組みのもとでどのような理論的保証を確立できるか？

主な発見

• NNLADは、ノイズレベルが未知であっても、非負の可縮小信号の均一的かつ安定的・ロバストな回復を達成する。
• ランダムに生成された左正則な二部グラフから得られる二値エクスパンダ行列は、高い確率で最適なパrameterを有する$ε$-ロバストなヌル空間性質を満たす。
• ロバストなヌル空間性質を$²$-ノルムに関して用いることで、NNLADの理論的保証が導出され、安定性とロバスト性が保証される。
• 数値結果から、提案されたNNLADソルバは、回復の正確性と効率性において、既存の最先端手法と同等の性能を示す。
• この手法は、特に試料の汚染を伴うプールSARS-CoV-2テストのようなピークノイズを示す状況において、グループテスト応用に適している。
• $²$-ベースのデータ適合項を用いるNNLADは、汚染をスパースで高振幅のノイズとしてモデル化する上で有利である。