[論文レビュー] Efficient Quantum Transforms

Peter Høyer|ArXiv.org|Feb 12, 1997

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用数 80

ひとこと要約

本稿では、ユニタリ変換のための量子回路を効率的に構築するために一般化されたクロネッカー積形式を導入し、ユニタリ行列をスパースで実装可能な成分に因数分解することにより、アーベル群および非アーベル群（メタシクル群や誤り訂正群を含む）におけるフーリエ変換、およびハールおよびダウーベシュのD⁴変換を含むウェーブレット変換のための新しいコンactな量子ネットワークを実現する。

ABSTRACT

Quantum mechanics requires the operation of quantum computers to be unitary, and thus makes it important to have general techniques for developing fast quantum algorithms for computing unitary transforms. A quantum routine for computing a generalized Kronecker product is given. Applications include re-development of the networks for computing the Walsh-Hadamard and the quantum Fourier transform. New networks for two wavelet transforms are given. Quantum computation of Fourier transforms for non-Abelian groups is defined. A slightly relaxed definition is shown to simplify the analysis and the networks that computes the transforms. Efficient networks for computing such transforms for a class of metacyclic groups are introduced. A novel network for computing a Fourier transform for a group used in quantum error-correction is also given.

研究の動機と目的

• ユニタリ変換のための効率的な量子回路を構築する一般枠組みを開発すること。問題を行列因数分解として再定式化する。
• アーベル群に限らない非アーベル群、特にメタシクル群や誤り訂正群を含む非アーベル群への量子フーリエ変換の適用範囲を拡張すること。
• 古典的変換の数学的記述から、特に一般化されたクロネッカー積を用いて、量子ネットワークを体系的に導出する方法を提供すること。
• 位相因子を除いて結果を計算する緩いフーリエ変換の定義を許容することで、量子アルゴリズムの設計を簡素化すること。
• 本フレームワークの有効性を実証するため、ハール変換および群論的フーリエ変換のための新しい効率的量子回路を構築すること。

提案手法

• 複雑なユニタリ行列の効率的分解を可能にするために、標準的クロネッカー積を拡張した一般化されたクロネッカー積演算を提案する。
• 一般化されたクロネッカー積を用いて、古典的な数学的構造を再表現することで、ウォルシュ＝ハダマード変換および量子フーリエ変換のための量子回路を導出する。
• 一般化されたクロネッカー積による因数分解を通じて、ハールおよびダウーベシュのD⁴ウェーブレット変換のための新しい量子ネットワークを構築する。
• 位相因子を除いて結果を計算する緩い非アーベルフーリエ変換の定義を導入し、回路設計および解析を簡素化する。
• 再帰的にこの手法を適用し、メタシクル群および量子誤り訂正に用いられる群$E_n$におけるフーリエ変換のための効率的量子回路を構築する。
• 一般化されたクロネッカー積に基づく再帰的回路構築法を用い、基本ケース（例：$n=0$ の場合のアダマールゲート）から始めて、より大きな変換を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたクロネッカー積を用いて、数学的記述からユニタリ変換のための効率的量子回路を体系的に導出できるか？
• RQ2 正確な計算が困難な場合に、非アーベル群におけるフーリエ変換を量子コンピュータ上で効率的に実装する方法は何か？
• RQ3 位相因子を除いて結果を計算する緩い定義を用いることで、量子回路設計がどの程度簡素化され、かつその有用性が保持されるのか？
• RQ4 一般化されたクロネッカー積フレームワークを用いて、ハール変換およびD⁴変換のようなウェーブレット変換のための効率的量子ネットワークを導出できるか？
• RQ5 このフレームワークは、ショアの因数分解やグローバー探索などのフーリエ変換に依存する量子アルゴリズムにどのような影響を及えるか？

主な発見

• 本稿では、一般化されたクロネッカー積に基づく新しい量子回路構築法を提示し、ユニタリ変換の効率的実装を可能にする。
• 一般化されたクロネッカー積形式を用いて、ハールおよびダウーベシュのD⁴ウェーブレット変換のための新しい効率的量子ネットワークが構築された。
• 位相因子を除いて結果を計算する非アーベルフーリエ変換の緩い定義が導入され、回路設計および解析が簡素化された。
• 一般化されたクロネッカー積フレームワークを用いて、メタシクル群のクラスにおけるフーリエ変換のための効率的量子回路が構築された。
• 量子誤り訂正符号に用いられる群$E_n$におけるフーリエ変換を計算する、単純かつ効率的な量子回路が提示された。
• 一般化されたクロネッカー積の再帰的構造により、小さな基本ケース（例：$n=0$ の場合のアダマールゲート）からより大きな変換のための量子回路を構築できるようになった。