[論文レビュー] Efficient unitary paths and quantum computational supremacy: A proof of average-case hardness of Random Circuit Sampling

Ramis Movassagh|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、修正されたQR分解を用いた多項式時間の効率的かつ連続的な方法を導入し、有理関数補間をBerlekamp-Welchアルゴリズムで正確に実行することで、ユニタリ行列の間を補間する手法を提案する。また、平均的にRandom Circuit Sampling (RCS) が#P困難であることを証明し、量子計算優位性を確立する上で不可欠な平均的困難性の新たな簡略化された証明を提供する。

ABSTRACT

One-parameter interpolations between any two unitary matrices (e.g., quantum gates) $U_1$ and $U_2$ along efficient paths contained in the unitary group are constructed. Motivated by applications, we propose the continuous unitary path $U(θ)$ obtained from the QR-factorization \[ U(θ)R(θ)=(1-θ)A+θB, \] where $U_1 R_1=A$ and $U_2 R_2=B$ are the QR-factorizations of $A$ and $B$, and $U(θ)$ is a unitary for all $θ$ with $U(0)=U_1$ and $U(1)=U_2$. The QR-algorithm is modified to, instead of $U(θ)$, output a matrix whose columns are proportional to the corresponding columns of $U(θ)$ and whose entries are polynomial or rational functions of $θ$. By an extension of the Berlekamp-Welch algorithm we show that rational functions can be efficiently and exactly interpolated with respect to $θ$. We then construct probability distributions over unitaries that are arbitrarily close to the Haar measure. Demonstration of computational advantages of NISQ over classical computers is an imperative near-term goal, especially with the exuberant experimental frontier in academia and industry (e.g., IBM and Google). A candidate for quantum computational supremacy is Random Circuit Sampling (RCS), which is the task of sampling from the output distribution of a random circuit. The aforementioned mathematical results provide a new way of scrambling quantum circuits and are applied to prove that exact RCS is $\#P$-Hard on average, which is a simpler alternative to Bouland et al's. (Dis)Proving the quantum supremacy conjecture requires "approximate" average case hardness; this remains an open problem for all quantum supremacy proposals.

研究の動機と目的

• 任意の2つのユニタリ行列の間で、ユニタリ性を保ちつつ、多項式的／有理関数的パrameterizationが可能な連続的経路を構築すること。
• 全変動距離においてハール測度に任意に近い確率分布をユニタリ行列上に構築すること。
• これらの数学的道具を用いて、Random Circuit Sampling (RCS) の平均的#P困難性を証明し、量子計算優位性のための鍵となる要件を満たすこと。
• 従来の研究に依存しない、複雑なロバストネスの議論を避ける、簡略化された代替的証明を提供すること。
• RCSの正確な平均的困難性が、量子優位性の予想が成立するためには必要不可欠であることを確立すること。

提案手法

• 線形補間のQR分解を用いた、新規なユニタリ補間スキームを提案：$ U(\theta)R(\theta) = (1-\theta)A + \theta B $、ここで $ A = U_1 R_1 $、$ B = U_2 R_2 $ であり、すべての $ \theta \in [0,1] $ に対して $ U(\theta) \in \mathbb{U}(N) $ が保証される。
• QRアルゴリズムを修正し、$ U(\theta) $ の列に比例する行列を出力するようにし、その要素が $ \theta $ の有理関数となるようにする。
• Berlekamp-Welchアルゴリズムを適用し、ノイズが存在する状況下でも、多項式個のサンプルからこれらの有理関数を正確に補間可能であることを示す。
• 得られるユニタリ経路の要素が、低次の有理関数であることを示し、サンプル点からの効率的再構成が可能であることを裏付ける。
• 補間経路を用いて、局所ゲートが全変動距離においてハール測度に近い分布を持つ量子回路の分布を構築する。
• RCSの平均的困難性を、特定の補間点における出力確率の計算困難性に還元し、正確な補間と最悪ケース問題の#P困難性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2つのユニタリ行列の間で、補間パrameterの関数として効率的に表現可能な連続的かつユニタリな経路を構築可能か？
• RQ2 このような経路から生じる有理関数を、少数のサンプルから正確かつ効率的に補間可能か？
• RQ3 これらの補間技術を用いて、量子計算複雑性理論におけるRandom Circuit Sampling (RCS) の平均的困難性を証明可能か？
• RQ4 RCSの正確な平均的困難性は、量子優位性の予想が成立するための必要条件か？
• RQ5 ハール測度に全変動距離で近いが、複雑性理論的証明に必要な構造を保ったまま、量子回路の分布を構築可能か？

主な発見

• 修正されたQRアルゴリズムにより、$ U(\theta) $ の要素が $ \theta $ の有理関数となり、次数が $ O(n) $ で抑えられることが保証され、$ O(n) $ 個のサンプルから効率的に再構成可能である。
• Berlekamp-Welchによる有理関数補間は正確かつ効率的であり、関数 $ p_0(\theta) $ を再構成するには $ O(mD_4 \text{poly}(n)) $ 個の評価点が必要となる。ここで $ D_4 $ は有理関数の次数である。
• 本稿は、Random Circuit Sampling が平均的に#P困難であることを証明し、従来の研究が用いた複雑なロバストネス解析を避ける、新たな簡略化された証明を提供する。
• 正確な平均的困難性がRCSにおいて必要不可欠であることを確立し、$ \mathcal{H}_{\mathcal{A},\theta} $-分布回路に対する任意の効率的アルゴリズムが、ハール分布回路に対しても同様に有効であることを示唆する。
• 構築された分布 $ \mathcal{H}_{\mathcal{A},\theta} $ がハール測度と $ O(\theta) $ の全変動距離内にあることが示され、困難性結果の移行が可能である。
• Patruiの補題からの次数の上限に基づき、困難性結果のロバストネスが指数的に小さい可能性があるが、これは今後の課題として残されている。