[論文レビュー] Eigenstate Thermalization Hypothesis in Conformal Field Theory

Nima Lashkari, Anatoly Dymarsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2016

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、共形場理論（CFT）において、局所プライマリオペレーターに対するエイジェンステート熱化仮説（ETH）— すなわち局所ETH — が、任意の有限部分系の完全な縮約密度行列に対するETHを示すことを確立している。1+1次元CFTでは、これにより、ヴァイアソロ恒等ブロックによってよく近似可能な普遍的な密度行列が得られ、エンタングルメントエントロピーは熱状態と正確に一致するが、無限大のヒルベルト空間次元性のため、Renyiエントロピーは有限補正の差を示す。

ABSTRACT

We investigate the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) in d+1 dimensional conformal field theories by studying reduced density matrices in energy eigenstates. We show that if local probes of high energy primary eigenstates satisfy ETH, then any finite energy observable with support on a subsystem of finite size satisfies ETH. In two dimensions, we discover that if ETH holds locally, the finite size reduced density matrix of states created by heavy primary operators is well-approximated by a projection to the Virasoro identity block.

研究の動機と目的

• CFTにおける局所ETHと有限部分系の完全な縮約密度行列に対するETHとの間の厳密な関係を確立すること。
• 局所ETHが、少数体オペレーターを越えて、部分系内のすべての有限エネルギー観測量に対するETHを示すこと。
• 2次元CFTにおいて、局所ETHが成り立つとき、エネルギー固有状態の密度行列がヴァイアソロ恒等ブロックによってよく近似可能であることを示すこと。
• エネルギー固有状態における区間の普遍的Renyiエントロピーを計算し、熱状態と比較すること。
• 局所ETHをCFTにおける量子カオスの定義として提示し、可積分モデルと区別すること。

提案手法

• 球面上のエネルギー固有状態と平坦空間における局所プライマリオペレーターを結ぶコンフォーマル写像を用い、解析的制御を可能にする。
• 局所ETHを、エネルギー固有状態における局所プライマリオペレーターの行列要素が対角的で滑らかな対角成分を持ち、指数的に小さい非対角成分を持つものとして定義する。
• ユークリッド経路積分技術を用いて、固有状態と熱状態の縮約密度行列のズレのトレースノルムおよび2ノルムを計算する。
• 1+1次元CFTにおいて、局所ETHのもとで、部分系の普遍的密度行列をヴァイアソロ恒等ブロックへの射影によって導出する。
• 普遍的密度行列を用いて、$ R / \lambda_T $ についての級数展開でRenyiエントロピーを順次計算し、熱状態の結果と比較する。
• ファンス＝オーデナール不等式および相対エントロピーの境界を用い、固有状態と熱状態の密度行列間のトレース距離がエントロピーの指数関数的に小さくなることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFTにおける局所ETHは、任意の有限部分系の完全な縮約密度行列に対するETHを示すか？
• RQ2 1+1次元CFTにおいて、局所ETHのもとで、エネルギー固有状態の縮約密度行列はヴァイアソロ恒等ブロックによって近似可能か？
• RQ3 エネルギー固有状態におけるRenyiエントロピーと熱状態との比較において、差異は何か、その原因は何か？
• RQ4 局所ETHは、CFTにおける量子カオスの定義として機能可能か、可積分モデルと区別できるか？
• RQ5 無限大のヒルベルト空間次元性が、固有状態と熱状態におけるエンタングルメントエントロピーとRenyiエントロピーの差に果たす役割は何か？

主な発見

• 局所ETHにより、CFTのエネルギー固有状態における任意の有限部分系の縮約密度行列が、トレースノルムにおいて熱状態の密度行列に指数関数的に近いことが示された。
• 1+1次元CFTでは、高エネルギー固有状態の縮約密度行列は、局所ETHが成り立つとき、ヴァイアソロ恒等ブロックへの射影によってよく近似可能である。
• 固有状態密度行列のエンタングルメントエントロピー（$ n=1 $）は、熱状態のものと正確に一致するが、より高いRenyiエントロピーでは差が生じる。
• Renyiエントロピーは、$ (R/\lambda_T)^{2k} $ 比例の有限補正により熱状態の値からずれる。$ n>1 $ に対して最初の差は $ (R/\lambda_T)^4 $ 次の項で現れる。
• 固有状態と熱状態の縮約密度行列間のトレース距離は $ e^{-O(S(E))} $ で有界であり、ETHが最も強い意味で成立していることを確認した。
• $ n>1 $ におけるRenyiエントロピーの差は、無限大のヒルベルト空間次元性に起因し、状態がトレースノルムで近くても有限な差が生じ得ることを示している。