[論文レビュー] Eigenvalue tests for the number of latent factors in short panels

Alain-Philippe Fortin, Patrick Gagliardini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2022

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、固定された時系列次元（T）と大きな横断的サイズ（n）を有する短いパネルデータにおける潜在的要因の数を特定する固有値に基づく検定を提案する。対称行列の摂動理論および固有値間隔を用いて、球状誤差またはインスツルメンタル変数の下で漸近的に有効な検定を構築し、米国株式市場データにおいて、ブル市場およびベア市場の両方で5〜7つの潜在的要因が存在する実証的証拠を示す。これは、景気後退期には単一要因モデルが支配的であるという一般的な認識に反する。

ABSTRACT

This paper studies new tests for the number of latent factors in a large cross-sectional factor model with small time dimension. These tests are based on the eigenvalues of variance-covariance matrices of (possibly weighted) asset returns, and rely on either the assumption of spherical errors, or instrumental variables for factor betas. We establish the asymptotic distributional results using expansion theorems based on perturbation theory for symmetric matrices. Our framework accommodates semi-strong factors in the systematic components. We propose a novel statistical test for weak factors against strong or semi-strong factors. We provide an empirical application to US equity data. Evidence for a different number of latent factors according to market downturns and market upturns, is statistically ambiguous in the considered subperiods. In particular, our results contradicts the common wisdom of a single factor model in bear markets.

研究の動機と目的

• 時系列次元（T）が固定で横断的サイズ（n → ∞）が大きい大規模な横断的パネルにおける潜在的要因の数を特定する課題に取り組む。
• 弱い、準強力、または強い要因構造の下で、潜在的要因の数に関する漸近的に有効な統計的検定を構築する。
• Tが大きくないか、正規誤差を仮定する既存手法の制限を克服するため、有限次元の固有値分布を活用する。
• 固有値間隔比を用いて、弱い要因と準強力・強い要因を区別するための新規検定を導入する。
• 市場の状態に応じた要因の安定性に関する実証的証拠を提供し、特にベア市場における単一要因モデルの常識を検証する。

提案手法

• 資産リターンの標本分散・共分散行列の固有値およびそれらの間隔に基づく検定統計量を提案する。
• n → ∞ かつ T が固定の下で、対称行列の小さな固有値に対する一様摂動展開を用いて漸近的分布を導出する。
• 有限次元のワイシャルト分布およびガウス行列の固有値理論を用いて漸近的分布を導出する。
• 2つの異なる同定戦略を実装する：(1) 球状誤差仮定（√nS(k) 用）、(2) 要因ベータのためのインスツルメンタル変数（nT(k) 用）。
• 固有値間隔比に基づく新規検定統計量 S*(k) を導入し、弱い要因と準強力／強い要因を区別する。
• p値を用いた逐次的検定を適用し、同定仮定の違いにかかわらず要因数の選択を強化する。

Figure 1: Level curves for the joint pdf of eigenvalue spacings $s_{1}=\delta_{1}(Z^{*})-\delta_{2}(Z^{*})$ and $s_{2}=\delta_{2}(Z^{*})-\delta_{3}(Z^{*})$ for random matrix $Z^{*}$ in GOE( $3$ ).

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T が固定で n が大きい短いパネルにおいて、標本共分散行列の最小固有値の漸近的分布は何か？
• RQ2 T が小さく固定されている状況で、固有値に基づく検定が潜在的要因の数を信頼性高く検出できるか？
• RQ3 異なる要因強度の状態（弱い、準強力、強い）の下で、提案手法の性能はいかがなものか？
• RQ4 市場の下落期と上昇期とを比較して、潜在的要因の数の変化に関する実証的証拠はあるか？
• RQ5 ベア市場において単一の支配的要因が存在するという一般的な認識は、厳密な固有値に基づく検定の下でも成立するか？

主な発見

• √nS(k) および nT(k) の両検定統計量は、4つのサブ期間すべてで一貫した結果を示し、ブル市場およびベア市場の両方で5〜7つの潜在的要因が示唆されている（p値）。
• 1977/03–1978/02 のサブ期間において、0要因の帰無仮説は1%水準で棄却され（p値 < 0.01）、一方1要因の帰無仮説は棄却されない（p値 ≈ 0.09）。
• 固有値間隔比検定 S*(k) は、少数の要因を検出する能力が低く、主に高次の仮説のみを棄却する。
• 実証的結果は、ベア市場において単一要因モデルが支配的であるという一般的な認識に反する。下落期に要因数の著しい減少は認められない。
• 要因数は市場の状態にかかわらず比較的安定しており、両検定統計量ともすべてのサブ期間で5〜7要因を選択する。
• 球状誤差仮定（sphericity）とインスツルメンタル変数の異なる同定仮定に基づく2つの検定統計量の一致は、結果の強固さを強く裏付けている。

Figure 2: The pdf $f_{3}(s)$ of eigenvalue spacing $s=\delta_{1}(Z^{*})-\delta_{3}(Z^{*})$ and the pdf $g_{3}(r)$ of eigenvalue spacings’ ratio $r=[\delta_{1}(Z^{*})-\delta_{2}(Z^{*})]/[\delta_{2}(Z^{*})-\delta_{3}(Z^{*})]$ for random matrix $Z^{*}$ in GOE( $3$ ).