[論文レビュー] Eigenvalues, absolute continuity and localizations for periodic unitary transition operators

Tatsuya Tate|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、周期的ユニタリ遷移作用素（離散時間量子ウォークの一般化）における局在化が、かつてその系に固有値が存在する場合に限り発生することを確立している。連続スペクトルが複素変数の解析的摂動論を用いて絶対連続であることを証明し、固有値が1つしかない場合に、遷移確率の長時間極限が固有空間への射影に等しくなることを示している。

ABSTRACT

The localization phenomenon for periodic unitary transition operators on a Hilbert space consisting of square summable functions on an integer lattice with values in a complex vector space, which is a generalization of the discrete-time quantum walks with constant coin matrices, are discussed. It is proved that a periodic unitary transition operator has an eigenvalue if and only if the corresponding unitary matrix-valued function on a torus has an eigenvalue which does not depend on the points on the torus. It is also proved that the continuous spectrum of the periodic unitary transition operators is absolutely continuous. As a result, it is shown that the localization happens if and only if there exists an eigenvalue, and the long time average of the transition probabilities coincides with the point-wise norm of the projection of the initial state to the direct sum of eigenspaces.

研究の動機と目的

• 整数格子上のヒルベルト空間における周期的ユニタリ遷移作用素における局在化が発生する条件を同定すること。
• 複素解析およびスペクトル理論の道具を用いて、このような作用素の連続スペクトルが絶対連続であることを証明すること。
• 固有値の存在と量子ウォークにおける遷移確率の長時間挙動との間の明確な関係を確立すること。
• 被覆グラフ構造を用いて、トポロジカル・クリスタル上のユニタリ作用素へこれらの結果を拡張すること。
• トーラス上の行列値関数とその固有値挙動に基づくスペクトル解析フレームワークの構築。

提案手法

• 周期的ユニタリ遷移作用素をトーラス $T^d$ 上の乗法作用素にフーリエ変換を用いて共役化すること。
• トーラス上に定義されたユニタリ行列値関数 $U(z)$ を用いてスペクトルを分析し、その固有値を $\lambda_k(z)$ とする。
• 複素変数の解析的摂動論を用いて、固有値 $\lambda_k(z)$ が正則関数としての滑らかさを研究すること。
• コアリオ・公式を適用して、連続スペクトルに付随するスペクトル測度がLebesgue測度に関して絶対連続であることを示すこと。
• 固有値関数の勾配がほとんど everywhere で消えないことにより、連続部分のスペクトル測度が絶対連続であることを証明すること。
• トーラス $T^d \setminus D$ 上に分区単位を構成し、局所的な解析を定め、絶対連続性の結果を一様に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的ユニタリ遷移作用素が長時間極限において局在化を示す条件は何か？
• RQ2 このような作用素の連続スペクトルが絶対連続スペクトル成分からなるのはいつか？
• RQ3 トーラス上におけるユニタリ行列値関数 $U(z)$ の固有値は、$\ell^2$-固有関数の存在とどのように関係するか？
• RQ4 初期状態 $u$ が固有空間に射影された場合、遷移確率 $p_n(u;x)$ の明確な漸近的挙動は何か？
• RQ5 被覆グラフ構造を用いて、周期的ユニタリ作用素のスペクトル理論をトポロジカル・クリスタル上の作用素へ拡張できるか？

主な発見

• 周期的ユニタリ遷移作用素が固有値を持つのは、対応する行列値関数 $U(z)$ がトーラス $T^d$ 全体で定数となる固有値を持つ場合に限り、かつそのときに限る。
• 周期的ユニタリ遷移作用素の連続スペクトルは、単位円上のLebesgue測度に関して絶対連続である。
• 局在化は、少なくとも1つの固有値が存在する場合に限り発生し、サイト $x$ における遷移確率の長時間極限は、初期状態を固有空間に射影したものの $\ell^2$ ノルムに等しい。
• 固有値が1つしかない場合、任意のサイト $x$ における長時間遷移確率は、点wise に $\|P u\|^2$ に収束する。ここで $P$ は対応する固有空間への射影である。
• 固有値関数 $\lambda_k(z)$ の勾配がトーラス上でほとんど everywhere で消えないことから、連続スペクトル部分に付随するスペクトル測度が絶対連続である。
• 有限グラフ上の被覆グラフであるトポロジカル・クリスタル上のヒルベルト空間におけるユニタリ作用素に対しても、同じスペクトル解析フレームワークを適用することで、結果が拡張可能である。