[논문 리뷰] Ekedahl-Oort strata and Kottwitz-Rapoport strata

Ulrich Goertz, Maarten Hoeve|ArXiv.org|2008. 08. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 아벨 다양체의 모듈리 공간에서 Ekedahl-Oort 체계와 Kottwitz-Rapoport 체계 사이의 깊은 기하적 대응을 수립한다. 모든 Ekedahl-Oort 체계가 파라호릭 Kottwitz-Rapoport 체계와 동형임을 증명하고, 자연스러운 사영 사상 아래에서 Deligne-Lusztig 다양체로의 동형이 일관되게 유지됨을 보이며, 이는 이전에 별개로 간주되었던 초특수 부분공간의 두 가지 기술을 통합한다.

ABSTRACT

We study the moduli space A_g of g-dimensional principally polarized abelian varieties in positive characteristic, and its variant A_I with Iwahori level structure. Both supersingular Ekedahl-Oort strata and supersingular Kottwitz-Rapoport strata are isomorphic to disjoint unions of Deligne-Lusztig varieties (see [Hoeve 2008] and [Goertz, Yu 2008], resp.). Here we compare these isomorphisms. We also give an explicit description of Kottwitz-Rapoport strata contained in the supersingular locus in the general parahoric case. Finally, we show that every Ekedahl-Oort stratum is isomorphic to a parahoric Kottwitz-Rapoport stratum.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 아벨 다양체 모듈리 공간에서 초특수 Ekedahl-Oort 체계와 Kottwitz-Rapoport 체계의 기하적 구조를 비교하기 위해.
• 두 가지로 알려진 초특수 체계 기술(즉, Deligne-Lusztig 다양체의 합집합으로서의 기술) 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 일반적인 파라호릭 수준 구조의 경우에 대해 Kottwitz-Rapoport 체계의 기술을 초특수 부분공간으로 확장하기 위해.
• 모든 Ekedahl-Oort 체계가 파라호릭 Kottwitz-Rapoport 체계로 나타남을 보여, 두 체계를 통합하기 위해.

제안 방법

• 주로 극성화된 아벨 다양체의 모듈리 공간 $\mathcal{A}_g$ 와 그 파라호릭 수준 구조를 가진 변형 $\mathcal{A}_J$ 를 사용한다.
• 초특수 부분공간에서 Ekedahl-Oort 체계와 Kottwitz-Rapoport 체계를 기술하기 위해 Deligne-Lusztig 다양체 이론을 적용한다.
• 자연스러운 사상 $\pi_J: \mathcal{A}_J \to \mathcal{A}_g$ 를 구축하고, 특정 KR 체계에 제한했을 때 이것이 EO 체계로의 동형사상이 됨을 보인다.
• A[p] 위의 표준 필터링을 활용하여 KR 체계를 정의하는 플래그 구조를 Ekedahl-Oort 체계와 연결한다.
• 디에우돈네 모듈러스에서 $V$-행동의 상대적 위치를 이용하여, 웨일 군 원소를 통한 체계의 특성화를 한다.
• 아핀 웨일 군 내의 허용 집합과 이중 코셋 이론을 활용하여 $\pi$ 에서 $\mathcal{A}_y$ 의 상을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자연스러운 사영 사상 $\pi$ 에서 초특수 Ekedahl-Oort 체계와 Kottwitz-Rapoport 체계의 Deligne-Lusztig 기술 간의 관계는 어떠한가?
• RQ2 어느 Kottwitz-Rapoport 체계가 초특수 부분공간에 속해 있으며, 그 기하적 구조는 어떠한가?
• RQ3 모든 Ekedahl-Oort 체계가 파라호릭 모듈리 공간에서 Kottwitz-Rapoport 체계로 표현될 수 있는가?
• RQ4 KR 체계가 초특수 부분공간에 포함되기 위한 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ5 KR 체계 $\mathcal{A}_y$ 가 $\pi$ 에서의 상이 Ekedahl-Oort 체계와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 모든 Ekedahl-Oort 체계 $\mathrm{EO}_w$ 는 자연스러운 사영 사상 $\pi_J: \mathcal{A}_J \to \mathcal{A}_g$ 를 통해 파라호릭 Kottwitz-Rapoport 체계 $\mathcal{A}_{J,\overline{w\tau}}$ 와 동형임을 보였다.
• 이 동형은 $\mathrm{EO}_w$ 의 각 점에 대해 그 표준 필터링 $\mathcal{F}_\bullet^{\rm can}$ 을 할당하여 해당 KR 체계를 정의함으로써 실현된다.
• Theorem 3.4 에서 보여지듯이, 사영 사상 $\mathcal{A}_{I,w\tau} \to \mathrm{EO}_w$ 에서 초특수 KR 체계와 EO 체계의 Deligne-Lusztig 기술이 일관되게 유지된다.
• Kottwitz-Rapoport 체계가 초특수 부분공간에 포함되려면 그것이 초특수여야 하며, 이 경우에 그 체계는 Deligne-Lusztig 다양체의 분리된 합집합과 동형이다.
• 만약 $w$ 가 최종적이고 $J$ 가 표준 필터링의 유형이라면, 사상 $\pi_J$ 는 $\mathcal{A}_{J,\overline{w\tau}} \to \mathrm{EO}_w$ 로 제한되었을 때 동형이 되며, 그 역은 표준 필터링을 취하는 것으로 주어진다.
• $y \in W_J w\tau W_J \cap \mathrm{Adm}(\mu)$ 를 만족할 경우, $\mathcal{A}_y$ 의 $\pi$ 에서의 상은 항상 $\mathrm{EO}_w$ 가 되며, 이는 모든 이러한 $y$ 가 동일한 EO 체계로 사영됨을 보여준다.