[論文レビュー] Electron scattering by a solenoid

I. V. Tyutin|ArXiv.org|Jan 14, 2008

Crystallography and Radiation Phenomena参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子力学的形式主義を用いて、無限に細いおよび半無限に長いソレノイドによる電子散乱に対して、自己随伴ハミルトニアンを厳密に構成する。磁束が量子化されている場合、位相のトポロジー的効果により散乱が消失することを示し、ソレノイド半径がゼロの極限において、アイディアルな細いソレノイドの場合と波動関数および散乱振幅が滑らかに収束することを確認した。これはアハラノフ＝ボーム効果が正当化されることを示している。

ABSTRACT

The quantum-mechanical problems of electron scattering by an infinitely thin solenoid and by a half of an infinitely thin solenoid are examined from the viewpoint of constructing a self-adjoint Hamiltonian. It is demonstrated that in both problems there exist unique self-adjoint operators with a ``non-singular'' domain, that, due to physical reasons, are identified with the corresponding Hamiltonians. In the case of quantized values of magnetic flow along the solenoid, the electron does not experience any scattering by the string. It is shown that the scattering amplitude and wave function of an electron in the problem of scattering by an infinitely long solenoid of radius a in the limit a->0 turn into the corresponding expressions for the problem of an infinitely thin solenoid. In particular, at a quantized value of magnetic flow along the solenoid, scattering disappears at a->0.

研究の動機と目的

• 無限に細いソレノイドおよび半無限に長いソレノイドによる電子散乱に対して、特異なベクトルポテンシャルの量子論的取り扱いにおける曖昧さを解消する、自己随伴ハミルトニアンを厳密に定義すること。
• ソレノイドの磁場ポテンシャルによる電子散乱が物理的に観測可能かどうかを、ディラックのストリングとアハラノフ＝ボーム効果の文脈で検討すること。
• 有限半径のソレノイドモデルにおける散乱振幅および波動関数の極限的挙動 $ a \to 0 $ を調べ、有限半径モデルとアイディアルな細いソレノイドモデルを比較すること。
• 特に磁束が量子化されている場合に、位相的位相が散乱に果たす役割を明らかにし、勾配型ポテンシャルに不連続な位相がある場合の文献における明らかな矛盾を解消すること。

提案手法

• 特異なベクトルポテンシャルにもかかわらず数学的整合性を保つために、電子散乱のハミルトニアン作用素の自己随伴拡張を構築する。
• 無限ソレノイドに対しては $ A_k^{(c)}(\vec{r}) = -\mu \frac{\varepsilon_{3ki} r_i}{\rho^2} $、半無限ソレノイドに対しては $ A_k^{(D)}(\vec{r}) = -\mu \frac{\varepsilon_{3ki} r_i}{r(r - z)} $ をベクトルポテンシャルとして用いる。
• 3次元および2次元における平面波の漸近展開を導出するため、定常位相法を適用し、大距離における散乱波動関数の解析を可能にする。
• パラメータが $ \mu $、$ k $、$ a $ に依存する退化超幾何関数 $ \Phi(\alpha, \beta; x) $ を用いて、径方向波動関数 $ \widetilde{F}_{m,k}(\rho) $ の厳密解を導出する。
• 有限半径ソレノイドモデルにおける $ a \to 0 $ の極限を分析し、波動関数および散乱振幅がアイディアルな細いソレノイドの場合に滑らかに収束することを示す。
• 球面調和関数 $ Y_{lm} $ およびフーリエモード $ e^{in\varphi} $ を用いた正規直交展開により、平面波および散乱状態の漸近的挙動を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異なベクトルポテンシャルが存在するにもかかわらず、無限に細いソレノイドによる電子散乱に対して、一意の自己随伴ハミルトニアンを構成できるか？
• RQ2 アハラノフ＝ボーム効果が予測するように、磁束が量子化されている場合（$ \mu = 0, \pm1, \pm2, \dots $）、電子散乱は消失するか？
• RQ3 有限半径ソレノイドにおいて、$ a \to 0 $ の極限で電子の散乱振幅および波動関数はどのように振る舞うか？
• RQ4 波動関数が $ \psi = e^{i\mu\varphi} e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} $ の形をしている場合、なぜ勾配型ポテンシャルに見えるのか？（実際には $ \vec{\nabla} \varphi $ が不連続であり、$ \mathrm{rot}(\partial_k \varphi) \neq 0 $ であるため。）
• RQ5 ディラックの磁単極子モデルにおいて、散乱振幅はストリングの方向に依存しないのか？ズヴァンツィガーの結果が示唆するように。

主な発見

• 無限および半無限ソレノイドの両方において、特異でない定義域を有する一意の自己随伴ハミルトニアンが存在し、物理的に識別可能である。
• 磁束が量子化されている場合（$ \mu = 0, \pm1, \pm2, \dots $）、電子は散乱を経験せず、これはアハラノフ＝ボーム効果のトポロジー的性質を確認するものである。
• $ a \to 0 $ の極限において、有限半径ソレノイドの散乱振幅および波動関数は、アイディアルな細いソレノイドの場合に収束し、磁束が量子化されている場合には散乱が消失する。
• 波動関数 $ \psi = e^{i\mu\varphi} e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} $ は、$ \varphi $ が不連続であるため、グローバルな勾配の結果ではない。したがって $ \mathrm{rot}(\partial_k \varphi) \neq 0 $ であり、これは明らかに矛盾する見かけを解消する。
• 半無限ソレノイドの散乱振幅は $ f(\vec{k}, \vec{k}') = e^{i\Omega} f_0(\vec{k}, \vec{k}') $ と表され、$ \vec{k} $ と $ \vec{k}' $ のなす角度のみに依存し、$ \Omega $ はソレノイドの磁束に起因する位相シフトである。
• 定常位相法を用いて3次元および2次元における平面波の漸近展開を導出し、球面上および円周上での $ \delta $-関数を含む表現を得た。これにより、散乱状態を球面調和関数およびフーリエモードに展開することが可能になった。