[論文レビュー] Elements of Stochastic Calculus via Regularisation

Francesco Russo, Pierre Vallois|ArXiv.org|Mar 9, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿は正則化を用いた確率積分の構築を通じて、前向き、後向き、対称積分を用いて伊藤積分とストラトノビッチ積分を統一する枠組みを確立する。連続半マルティンゲールに対して前向き積分が伊藤積分と一致することを証明し、有限二次変動過程に対して$C^2$型の伊藤公式を導出し、弱ディラクレ型および可逆半マルティンゲールへと拡張し、分数 Browm運動への応用を含む。

ABSTRACT

This paper first summarizes the foundations of stochastic calculus via regularization and constructs through this procedure Itô and Stratonovich integrals. In the second part, a survey and new results are presented in relation with finite quadratic variation processes, Dirichlet and weak Dirichlet processes.

研究の動機と目的

• 有限二次変動を有する過程に対して、正則化に基づく確率積分の厳密な基礎を確立すること。
• 前向きおよび対称積分を用いて伊藤積分とストラトノビッチ積分を統一し、特定の条件下でそれらが等価であることを示すこと。
• 弱ディラクレ型および可逆半マルティンゲール過程、特に分数 Browm 動作によって駆動される過程を含め、伊藤型積分の理論を拡張すること。
• 古典的半マルティンゲール理論を超えて、共変動と$C^1$安定性が確率積分に果たす役割を解明すること。
• 正則化に基づく積分が、確率的確率積分と経路ごとの確率積分の橋渡しを果たすように、経路ごとにほとんど確実に伊藤積分に近づくことを示すこと。

提案手法

• 正則化を用いて前向き、後向き、対称、および共変動積分を定義し、$\varepsilon \to 0^+$の極限における$\varepsilon$-正則化積分を用いる。
• ucp（確率的一様収束）収束を用いて、前向き積分$\int_0^t Y d^{-}X = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^t Y(s) \frac{X(s+\varepsilon) - X(s)}{\varepsilon} ds$を定義する。
• 連続半マルティンゲールに対して、前向き積分が伊藤積分と一致することを証明し、正則化と古典的確率積分の理論の橋渡しを確立する。
• 対称積分と共変動項を用いて、有限二次変動過程に対する$C^2$型の伊藤公式を導出する。
• 関数解析的手法を用いて、二階可積分性を持つ被積分関数に限らない適応過程への伊藤積分の定義を拡張する。
• 弱ディラクレ過程および可逆半マルティンゲールの概念を用いて、$C^1$正則性条件下での伊藤公式の一般化を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化による前向き積分が、どのような条件下で古典的伊藤積分と一致するか？
• RQ2 対称積分を用いて、有限二次変動を有する過程に対して$C^2$型の伊藤公式をどのように導出できるか？
• RQ3 非半マルティンゲール過程への伊藤積分の拡張において、共変動と$C^1$安定性が果たす役割は何か？
• RQ4 正則化に基づく積分が、ほとんど確実に一様に伊藤積分に近づくことは可能か？ これは経路ごとの確率積分の理論にどのような意味を持つのか？
• RQ5 $H > \frac{1}{6}$の場合、対称積分を用いて分数 Browm 動作に対して伊藤公式をどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 連続半マルティンゲールおよび適応過程$Y$に対して、$\int_0^T Y_s^2 ds < \infty$ a.s. が成り立つとき、前向き積分$\int_0^t Y d^{-}X$は伊藤積分$\int_0^t Y dX$と一致する。
• 有限二次変動過程に対する$C^2$型の伊藤公式が確立された：$f(X_t) = f(X_0) + \int_0^t f'(X_s) d^\circ X_s + \frac{1}{2}[f'(X), X]_t$。
• 可逆半マルティンゲール$S = M + V$に対して、共変動$[g(S), S]$が存在し、$g \in C^0(\mathbb{R})$ならば、その二次変動はゼロであり、したがって$[g(S), S]$は有界変動をもつ。
• $g(W)$が有限二次変動過程であるならば、$f' = g$に対して$f(W)$が半マルティンゲールであるという性質から、$g$はコンパクト区間上で有界変動をもつことが示される。
• 対称積分$\int_0^t Y d^\circ X$はストラトノビッチ積分と等価であり、$f \in C^2$に対して$f(S_t) = f(S_0) + \int_0^t f'(S) d^\circ S$が成り立つ。
• $H > \frac{1}{6}$の場合、分数 Browm 動作$B^H$に対して、伊藤公式$f(B_t) = f(B_0) + \int_0^t f'(B) d^\circ B$が成り立ち、正則化により近似がほとんど確実に一様収束することが保証される。