[論文レビュー] Elliptic formal group laws, integral Hirzebruch genera and Krichever genera

Victor Matveevich Buchstaber, E. Yu. Bunkova|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、楕円曲線の幾何学を介して、楕円的フォーマル群法則、整数係数ヒルツブルッハ類、およびクリチェバー類を結びつける包括的な枠組みを確立する。楕円的フォーマル群法則の指数関数に対する微分方程式を導出し、5パラメータの整数係数ヒルツブルッハ類の族を構成するとともに、2つの分岐点を持つ非正則なバーグァー＝アキエツェル型関数を用いた一般化されたクリチェバー類を導入し、代数的トポロジーと複素幾何学の主要構造を統一する。

ABSTRACT

We consider the geometrical addition law on the elliptic curve in Tate coordinates. It corresponds to the general formal group law over the ring of polynomials with integer coefficients of the parametra of the curve. We study the structure of this law and the differential equation that determines its exponent. We describe a 5-parametric family of Hirzebruch genera with integer values on stably complex manifolds. We introduce the general Krichever genus, which is given by a generalized Baker-Akhiezer function. This function has many of the fundamental properties of the Baker-Akhiezer function, but unlike it, it is not meromorphic, because it can have two branch points in the parallelogram of periods.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上の幾何的群法則から導かれる、環 $\mathbb{Z}[\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4,\mu_6]$ 上の一般楕円的フォーマル群法則の構造を体系的に研究すること。
• 特にタートとヴァイエルシュトラウス座標における、楕円的フォーマル群法則の指数関数を支配する微分方程式を特定すること。
• 安定複素多様体上で整数値をとる5パラメータ族のヒルツブルッハ類を構成し、古典的類を一般化すること。
• 周期平行四辺形に2つの分岐点を持つ非正則な一般化バーグァー＝アキエツェル関数を用いて、一般化されたクリチェバー類を定義・導入すること。
• フォーマル群法則の指数関数が $A[[u]]$ に属するための代数的および幾何的条件を明確にし、関連する類の整数性を保証すること。

提案手法

• ねじれのない次数付き環 $A$ 上の次数付きヒュルツィウス級数を用いて、フォーマル群法則およびその対数／指数関数を表現する。
• タート座標系を用いて楕円曲線をパrametrizeし、$\mathbb{Z}[\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4,\mu_6]$ 上の一般フォーマル群法則を導出する。
• 場合 $\mu_1 = \mu_2 = \mu_4 = \mu_6 = 0$ において、指数関数に対する微分方程式 $f'(u)^2 = -4\mu_3 f(u)^3 + 1$ を導出し、ヴァイエルシュトラウス $\wp$-関数と関連付ける。
• 周期平行四辺形に2つの分岐点を持つ非正則な微分方程式の解として、一般化されたバーグァー＝アキエツェル関数を構成する。
• 対数関数と指数関数の同型を用いて、フォーマル群法則を $A \otimes \mathbb{Q}$ 上の普遍フォーマル群法則と関連付け、整数性条件を保証する。
• フォーマル群法則の理論を応用し、一般化された指数関数を用いてクリチェバー類を定義し、特別な場合（例：乗法的および双曲正 tangent 型）に対して明示的な式を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線上の幾何的群法則から生じるフォーマル群法則は、タート座標系においてどのような構造を持つのか？
• RQ2 楕円的フォーマル群法則の指数関数を支配する微分方程式は何か？また、ヴァイエルシュトラウス $\wp$-関数とどのように関係するか？
• RQ3 楕円的フォーマル群法則の指数関数が環 $A[[u]]$ に属するための条件は何か？ これにより関連する類の整数性が保証される。
• RQ4 2つの分岐点を持つ非正則関数を用いて、一般化されたクリチェバー類をどのように定義できるか？ また、その代数的性質は何か？
• RQ5 楕円的フォーマル群法則から生じる、安定複素多様体上で整数値をとる5パラメータ族のヒルツブルッハ類は何か？

主な発見

• 場合 $\mu_1 = \mu_2 = \mu_4 = \mu_6 = 0$ において、楕円的フォーマル群法則の指数関数は微分方程式 $f'(u)^2 = -4\mu_3 f(u)^3 + 1$ を満たし、解は $f(u) = -\frac{1}{\mu_3} \wp(u + c; 0, -\mu_3^2)$ である。
• 場合 $\mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_6 = 0$ において、フォーマル群法則は乗法的フォーマル群 $F_\mu(t_1,t_2) = t_1 + t_2 - \mu_1 t_1 t_2$ に簡約され、指数関数は $f(u) = \frac{1 - e^{-\mu_1 u}}{\mu_1}$ である。
• 場合 $\mu_1 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_6 = 0$ において、フォーマル群法則は $F_\mu(t_1,t_2) = \frac{t_1 + t_2}{1 + \mu_2 t_1 t_2}$ に簡約され、双曲正 tangent 加法法則に対応し、指数関数は $f(u) = \frac{1}{\sqrt{\mu_2}} \tanh(\sqrt{\mu_2} u)$ である。
• 一般化されたクリチェバー類は、$f'(u)^3 = \left((1 - \frac{1}{2}\mu_1 f(u))^3 - 3\mu_3 f(u)^3\right)^2$ を満たす非正則関数を用いて定義され、$\wp$-関数を用いた明示的表現が得られる。
• 指数級数の係数によって生成される環 $B_f$ は $\mathbb{Z}[b_n]/J$ に等しく、$J$ は整数性条件を符号化するイデアルであり、類が整数値をとることを保証する。
• 5パラメータ族の整数係数ヒルツブルッハ類が構成され、安定複素多様体上で $\mathbb{Z}$ 値をとり、$\hat{A}$-類や楕円的類といった古典的類を一般化する。