[論文レビュー] Elliptic genera, real algebraic varieties and quasi-Jacobi forms

Anatoly Libgober|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Ochanineの楕円的特徴類を、特定の特異点をもつ実代数的多様体へ拡張し、楕円的特徴類のプッシュフォワード公式を用いて、クリープント解消における不変性を証明する。特異点をもつ実代数的多様体や非単連結な設定への一般化を可能にするために、準ヤコビ形式を自然な枠組みとして導入し、Calabi-Yauの場合を超えたモジュラー性の一般化を実現する。

ABSTRACT

The first part surveys the push forward formula for elliptic class and various applications obtained in the papers by L.Borisov and the author. In the remaining part we discuss the ring of quasi-Jacobi forms which allow to characterize the functions which are the elliptic genera of almost complex manifolds and extension of Ochanine elliptic genus to certain singular real algebraic varieties.

研究の動機と目的

• Q-ゴレンシュタインで対数終等特異点をもつ実代数的多様体へのOchanineの楕円的特徴類の拡張。
• このような多様体に対して、クリープント解消における楕円的特徴類の不変性の確立。
• 非Calabi-Yau設定における楕円的特徴類の自然な枠組みとしての準ヤコビ形式の代数の構築。
• 特異点をもつ実代数的対への楕円的特徴類のプッシュフォワード公式の一般化。
• 特徴的系列を通じて、チャーン類やE関数などの位相的不変量と楕円的特徴類を結びつける。

提案手法

• FをC × H 上の関数の環とするA* (X) ⊗ F 上の楕円的特徴類のプッシュフォワード公式を用い、特異な複素多様体に対する特徴類を定義する。
• 2変数楕円的特徴類の特殊化 z = 1/2 を用い、実代数的対に対するOchanine特徴類を定義する。
• 特徴的系列と整合性を保つために、楕円的特徴類の平方根 √Ell を用い、実部分多様体上での特徴類を定義する。
• プッシュフォワードの射影公式とファンクターイリティを適用し、クリープント解消における解消不変性を証明する。
• 弱ヤコビ形式の一般化として、2変数イーゼンスタイン級数によって生成される準ヤコビ形式を導入し、非Calabi-Yauの場合の楕円的特徴類を記述する。
• チャーン根形式とシータ関数を用い、楕円的特徴類をチャーン根および除数類の積として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ochanine特徴類は、クリープント解消をもつ特異点をもつ実代数的多様体へ一貫して拡張可能か？
• RQ2 特異な実代数的多様体設定において、特にクリープント解消を含む被約変換の下で、楕円的特徴類はどのように振る舞うか？
• RQ3 Calabi-Yau条件が欠落した場合、楕円的特徴類を支配する代数的構造は何か？ そして、モジュラー性はどのように一般化されるか？
• RQ4 実代数的多様体の楕円的特徴類は、クリープント解消の選び方に依存しないか？
• RQ5 準ヤコビ形式は、Calabi-Yauの場合を超えた楕円的特徴類の記述に、なぜ自然な枠組みとなるのか？

主な発見

• Q-ゴレンシュタインで対数終等特異点をもつ実代数的多様体の楕円的特徴類は、クリープント解消の選び方に依存しない。
• クリープント解消において、実多様体の楕円的特徴類は、その複素化のOchanine特徴類と一致する。これは、楕円的特徴類の平方根を用いて示された。
• 楕円的特徴類のプッシュフォワード公式により、特徴類がブローアップにおいても保存されることを示し、解消不変性を証明する。
• 準ヤコビ形式の環は、弱ヤコビ形式の自然な一般化を提供し、非Calabi-Yau設定における楕円的特徴類を捉える。
• 対 (X_R, D) の楕円的特徴類は、2変数楕円的特徴類の z = 1/2 での特殊化により定義され、well-definedな不変量が得られる。
• この構成により、Ochanine特徴類は特異な実代数的多様体へ拡張され、Totaro や Borisov-Libgober の結果が実の場合へ一般化される。