[論文レビュー] Elliptic genus of Calabi-Yau manifolds and Jacobi and Siegel modular forms

Valery Gritsenko|ArXiv.org|Jun 28, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、整数フーリエ係数をもつ弱ジャコビ形式の順序付き環が、4つの基本的形式 $\phi_{0,1}, \dots, \phi_{0,4}$ によって自由生成されることを確立している。これらの形式は、次元2, 3, 4, 8のカラビ＝ヤウ多様体に関連している。また、カラビ＝ヤウ多様体の楕円的 genus が、重み0、インデックス $d/2$ の弱ジャコビ形式であることを証明し、これにより、オイラー数や $\chi_y$-genus といった特徴類の2および3のべきを法とする算術的性質を導出している。具体的には、$d \equiv 2 \mod 8$ のとき $e(M_d) \equiv 0 \mod 8$ であり、$d \equiv 2 \mod 6$ のとき $χ_{y=\zeta_3}(M_d) \equiv 0 \mod 9$ である。これらの結果は、第二量子化された楕円的 genus およびシーゲルモジュラー形式への応用が行われており、ローレンツ型カク＝ムーディ代数とも関連している。

ABSTRACT

In the paper we study two types of relations: a one is between the elliptic genus of Calabi-Yau manifolds and Jacobi modular forms, another one is between the second quantized elliptic genus, Siegel modular forms and Lorentzian Kac-Moody Lie algebras. We also determine the structure of the graded ring of the weak Jacobi forms with integral Fourier coefficients. It gives us a number of applications to the theory of elliptic genus and of the second quantized elliptic genus.

研究の動機と目的

• 整数フーリエ係数をもつ弱ジャコビ形式の順序付き環 $J_{0,*}^\mathbb{Z}$ の代数的構造を特定すること。
• この環が、次元2, 3, 4, 8のカラビ＝ヤウ多様体に関連する4つの基本的ジャコビ形式 $\phi_{0,1}, \dots, \phi_{0,4}$ によって自由生成されることを確立すること。
• モジュラー形式を用いて、カラビ＝ヤウ多様体の $\chi_y$-genus および $y = -1, i, \zeta_3$ における特別値の算術的性質を分析すること。
• 次元4および6のカラビ＝ヤウ多様体の第二量子化された楕円的 genus が、ローレンツ型カク＝ムーディ代数の分母関数と関連することを示すこと。
• カラビ＝ヤウ3-foldの修正された第二量子化された楕円的 genus が、最小の除数と最大のキャラクター位数12をもつシーゲルモジュラー形式 $\Phi_3(Z)$ のべきであることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、弱ジャコビ形式の理論と、ジャコビ群 $\Gamma^J = SL_2(\mathbb{Z}) \ltimes H(\mathbb{Z})$ における変換性を用いて、カラビ＝ヤウ多様体の楕円的 genus がモジュラー的対象として特徴付けられることを示している。
• リーマン–ロッホ–ヒルツブルーフの定理を適用し、楕円的 genus の $q^0$-項をヒルツブルーフの $\chi_y$-genus に関連づけることで、特徴類の算術的解析を可能にしている。
• 著者らは、ジャコビ形式を高 genus のシーゲルモジュラー形式へ写像する Exp-Lift 構成を用い、$\Phi_3(Z)$ や $\Phi_5(Z)$ のような自動形式を生成し、所望の除因子を持つようにしている。
• これらのシーゲルモジュラー形式の除因子構造を分析し、判別式が1および5の有理二次除因子（ハムバート面）として同定し、$\Phi_3(Z)$ が位数12のキャラクターと最小の除因子をもつことを示している。
• 第二量子化された楕円的 genus は、ローレンツ型カク＝ムーディ代数の分母関数のべきの積として表現され、物理的構成と算術的幾何学の間の関係を結んでいる。
• 著者らは、$\eta$-関数およびシータ関数のモジュラー性質を用いて、明示的な尖点形式を構成し、モジュライ空間 $\mathcal{A}_6(v_2)$ および $\mathcal{A}_6(v_3)$ におけるその幾何的・算術的性質を検証している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数フーリエ係数をもつ弱ジャコビ形式の順序付き環 $J_{0,*}^\mathbb{Z}$ の代数的構造は何か？
• RQ2 カラビ＝ヤウ多様体の $\chi_y$-genus の算術的性質、たとえばオイラー数やシグネチャが、2および3のべきを法としてどのように振る舞うか？
• RQ3 次元4および6のカラビ＝ヤウ多様体の第二量子化された楕円的 genus は、ローレンツ型カク＝ムーディ代数の分母関数で表現可能か？
• RQ4 シーゲルモジュラー形式 $\Phi_3(Z)$ は、高 genus における $j$-不変量のモジュラー類似として果たす役割は何か？
• RQ5 カラビ＝ヤウ3-fold のホッジ数は、$\Phi_3(Z)^{h^{2,1}-h^{1,1}}$ を通じて修正された第二量子化された楕円的 genus とどのように関連しているか？

主な発見

• 整数フーリエ係数をもつ弱ジャコビ形式の順序付き環 $J_{0,*}^\mathbb{Z}$ は、4つの基本的形式によって自由生成される：$J_{0,*}^\mathbb{Z} = \mathbb{Z}[\phi_{0,1}, \phi_{0,2}, \phi_{0,3}, \phi_{0,4}]$。ここで各 $\phi_{0,m}$ は、複素次元 $2m$ のカラビ＝ヤウ多様体に対応する。
• 複素次元 $d$ のカラビ＝ヤウ多様体 $M_d$ のオイラー数は、$d \equiv 2 \mod 8$ のとき $e(M_d) \equiv 0 \mod 8$ を満たす。これは命題2.4で証明されている。
• $y = \zeta_3 = e^{2\pi i/3}$ における $\chi_y$-genus の値は、$d \equiv 2 \mod 6$ のとき $\chi_{y=\zeta_3}(M_d) \equiv 0 \mod 9$ を満たす。これは命題2.5に述べられている。
• カラビ＝ヤウ4-fold や6-fold の第二量子化された楕円的 genus は、[GN4] で構成されたローレンツ型カク＝ムーディ代数の分母関数のべきの積として表現可能である。
• カラビ＝ヤウ3-fold の修正された第二量子化された楕円的 genus は、$E^{(2)}(M_3; Z) = \Phi_3(Z)^{h^{2,1}-h^{1,1}}$ として与えられる。ここで $\Phi_3(Z)$ は、重み0、最小の除因子、位数12のキャラクターをもつシーゲルモジュラー形式である。
• $\Phi_3(Z)^2$ は、2つの $\Gamma_6^+$-尖点形式の商として与えられる：$\Phi_3(Z)^2 = \frac{\text{Lift}(\eta^3 \vartheta^2 \vartheta(\cdot,2z))}{\text{Lift}(\eta^5 \vartheta(\cdot,2z))}$。分子および分母は、それぞれモジュライ空間 $\mathcal{A}_6(v_2)$ および $\mathcal{A}_6(v_3)$ 上の標準的微分形式を定義する。