[論文レビュー] Embedded surfaces with Anosov geodesic flows, approximating spherical billiards

Mickaël Kourganoff|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元球面 𝕊³ 内の埋め込み表面を用いて、11以上の genus を持つ向きつけ可能な曲面の等長埋め込みを構成し、その測地線的流れが Anosov 動的系であることを示している。これは、一様に双曲的である球面ビリヤード（円形障害物を有する）を 𝕊³ 内の埋め込み表面で近似することで達成される。主な結果は、このような Anosov 測地線的流れを持つ等長埋め込み表面の明示的構成が初めて得られたことである。一方、ℝ³ では曲率の制約により同様の方法が失敗することも示している。

ABSTRACT

We consider a billiard in the sphere S^2 with circular obstacles, and give a sufficient condition for its flow to be uniformly hyperbolic. We show that the billiard flow in this case is approximated by an Anosov geodesic flow on a surface in the ambiant space S^3. As an application, we show that every orientable surface of genus at least 11 admits an isometric embedding into S^3 (equipped with the standard metric) such that its geodesic flow is Anosov. Finally, we explain why this construction cannot provide examples of isometric embeddings of surfaces in the Euclidean R^3 with Anosov geodesic flows.

研究の動機と目的

• 円形障害物を有する球面ビリヤードが一様に双曲的力学を示すための条件を確立すること。
• このような一様に双曲的であるビリヤードが、𝕊³ 内の閉じた埋め込み曲面により、Anosov 測地線的流れを持つように近似可能であることを示すこと。
• 任意の向きつけ可能な曲面が genus ≥11 を満たす場合、𝕊³ 内に等長埋め込みされ、その測地線的流れが Anosov であることを証明すること。
• 同様の構成が ℝ³ で Anosov 測地線的流れを生成できない理由（曲率および位相的制約）を説明すること。

提案手法

• 球面から有限個の互いに交わらない開円板（半径 < π/2）を除いたものを球面ビリヤードと定義する。
• 幾何的近似法を用いて、ビリヤードの流れの力学を模倣する滑らかで閉じた曲面を 𝕊³ 内に構成する。
• ビリヤードの境界曲線の周囲に、曲率を制御した回転曲面を用いてチューブ型近傍を構築する。
• ガウス曲率が非負であり、チューブの中心曲線の測地線的曲率が特定の境界を満たすように保証し、共役点の発生を防ぐ。
• リッカチ方程式の解析を用いて、ジャコビ場の有限時間での発散（blow-up）を示し、測地線的流れの Anosov 性質を裏付ける。
• 対称性と積分推定を用いて、測地線に沿った総曲率をバウンドし、流れにおける共役点の不在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円形障害物を有する球面ビリヤードが一様に双曲的であるのはどのような条件下か？
• RQ2 一様に双曲的である球面ビリヤードは、𝕊³ 内の埋め込み曲面により、Anosov 測地線的流れを持つように近似可能か？
• RQ3 向きつけ可能な曲面が 𝕊³ 内に等長埋め込みされ、Anosov 測地線的流れを持つための最小の genus は何か？
• RQ4 なぜ ℝ³ では同様の構成により Anosov 測地線的流れを達成できないのか？

主な発見

• 任意の向きつけ可能な曲面が genus が 11 以上である場合、𝕊³ 内に等長埋め込みされ、その測地線的流れが Anosov である。
• 構成は、12個の円形障害物を有する一様に双曲的である球面ビリヤードを、𝕊³ 内の閉じた曲面により近似することに依拠している。
• 近似には、曲率を制御した 𝕊³ 内の回転曲面であるチューブ型表面が用いられ、Anosov 動力学を保証する。
• ジャコビ場のリッカチ方程式が有限時間で発散するため、共役点の不在が示され、Anosov 性質が確認される。
• ℝ³ では、必要な曲率条件を満たせないため、同様の構成は失敗し、Anosov 流れが得られない。
• 埋め込み曲面のガウス曲率は、臨界測地線に沿って正の下界で有界であり、強い双曲的性質が保証される。