[論文レビュー] Embedding into Banach spaces with finite dimensional decompositions

Edward Odell, Thomas Schlumprecht|ArXiv.org|Jan 11, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 24被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、分離可能な弱反復バナッハ空間が、一様 $(p,q)$-推定を満たす有限次元分解（FDD）を持つ空間へ埋め込まれる条件を確立する。また、$\varepsilon$-ネットの議論と木に基づく分解を用いて、漸近的無条件構造を持つ分離可能なバナッハ空間のクラスに対する普遍バナッハ空間を構成し、そのような空間がモデル空間の $\sigma$-有限次元和へ埋め込まれることを示し、${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ および ${\mathcal{C}}_{\text{aus}}$ の分離可能な双対普遍空間を構成する。主な貢献は、FDDに基づく埋め込みを用いて、漸近的 $\varepsilon$-構造クラスの普遍性問題に対する構成的解法を提供することにある。

ABSTRACT

This paper deals with the following types of problems: Assume a Banach space $X$ has some property (P). Can it be embedded into some Banach space $Z$ with a finite dimensional decomposition having property (P), or more generally, having a property related to (P)? Secondly, given a class of Banach spaces, does there exist a Banach space in this class, or in a closely related one, which is universal for this class?

研究の動機と目的

• 分離可能な弱反復バナッハ空間が、一様 $(p,q)$-推定を満たす有限次元分解（FDD）を持つ空間へ埋め込まれる条件を特定すること。
• 単一の空間を構成することで、分離可能な弱反復バナッハ空間のクラスの普遍性問題を解くこと。
• 弱い零列の木と、有限余次元部分空間上のプレイヤー・ゲーム戦略を用いて、バナッハ空間の漸近的構造を特徴付けること。
• クラス ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ および ${\mathcal{C}}_{\text{aus}}$ の分離可能な双対普遍空間の存在を確立すること。
• ジョンソンの $L_p$ の部分空間の埋め込み基準を、漸近的構造と木に基づくFDD構成を用いて、任意の弱反復空間へ一般化すること。

提案手法

• 漸近的構造をゲーム理論的解釈する：プレイヤーIは有限余次元部分空間を選択し、プレイヤーIIはベクトルを選択する。プレイヤーIIが得られる列が与えられた基底と $(1+\varepsilon)$-同値である場合に勝利する。
• $n$ 階の漸近的構造 $\{X\}_n$ を、このようなゲームに関して不変な、正規化された単調基底の最小閉集合として定義する。
• 木 $T_\infty$ 上の $\ell_p$-和を用いてモデル空間 $Z_{(p,q)}$ を構成し、ブロック列上で $1$-$(\infty,q)$-推定を満たすようにノルムを適合させる。
• $\ell_{p/q}$ における鋭い三角不等式の逆を用いて、ブロック列のノルムを $\ell_q$-ノルムの上界で抑え込む。
• $\ell_2$-和としてモデル空間 $Z_{(n,1)}$ と $Z_{q_n}$ を用いて、それぞれ ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ および ${\mathcal{C}}_{\text{aus}}$ の普遍空間 $X$ と $Y$ を構成する。
• 文献 [OSZ] の定理を適用し、任意の $K<\infty$ および $1\leq p\leq\infty$ に対して、すべての $K$-漸近的 $\ell_p$ 空間へ普遍な弱反復漸近的 $\ell_p$ 空間が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた漸近的構造を持つ分離可能な弱反復バナッハ空間が、$C$-$(p,q)$-推定を満たすFDDを持つ空間へ埋め込まれる条件は何か？
• RQ2 すべての分離可能な弱反復空間に等価な漸近的均一凸（a.u.c.）ノルムを持つクラスに対して、普遍バナッハ空間を構成できるか？
• RQ3 有限余次元部分空間上の $n$ ステップゲームにおいて、プレイヤーIIが勝利戦略を持つことは、バナッハ空間の $n$ 階漸近的構造への属性を特徴付けるか？
• RQ4 クラス ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ の分離可能な弱反復空間に等価な a.u.c. ノルムを持つ、分離可能な双対空間が普遍空間として存在するか？
• RQ5 すべての $K$-漸近的 $\ell_p$ 空間へ普遍な弱反復空間が存在するか？その構成法は何か？

主な発見

• 分離可能な双対空間 $X = \big(\oplus_{n=2}^\infty Z_{(n,1)}\big)_{\ell_2}$ が、等価な a.u.c. ノルムを持つ分離可能な弱反復空間のクラス ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ に対して普遍である。
• 空間 $X$ は、各 $Z_{(n,1)}$ が有界完備FDDをもち、$1$-$(n,1)$-推定を満たし、${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ に属する $(n,1)$-推定を満たす空間に対して普遍である $\ell_2$-和として構成される。
• 双対空間が分離可能な空間 $Y = \big(\oplus_{n=1}^\infty Z_{q_n}\big)_{\ell_2}$ が存在し、等価な漸近的均一滑らか（a.u.s.）ノルムを持つ分離可能な弱反復空間のクラス ${\mathcal{C}}_{\text{aus}}$ に対して普遍である。
• 空間 $Y$ は $S_z(Y) = \omega^2$ を満たし、$X$ が $S_z(X^*) = \omega$ を満たすのと比較して、a.u.c. と a.u.s. 構造の双対性を反映したより高い漸近的インデックスを持つ。
• この構成により、任意の $K<\infty$ および $1\leq p\leq\infty$ に対して、すべての $K$-漸近的 $\ell_p$ 空間へ普遍な弱反復漸近的 $\ell_p$ 空間が存在することを証明した。これは、以前の結果を一般化する。
• 木に基づくブロック分解と $1$-$(\infty,q)$-推定を用いた証明技法により、$\ell_{p/q}$ における逆三角不等式を介して $\ell_p$-ノルムから $\ell_q$-ノルムの上界を導出し、ブロック列が標的空間へ埋め込まれることを可能にする。