[論文レビュー] Empirical Distributions of Eigenvalues of Product Ensembles

Tiefeng Jiang, Yongcheng Qi|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的行列の積系において固有値の極限スペクトル分布を分析する一般枠組みを確立する。行列の積に含まれる行列数 $ m $ が $ n $ に依存する場合でさえ、i.i.d. Ginibre 行列の積およびハール単位的行列の切断の積に対して、固有値の経験的分布の明示的極限を導出する。この極限の振る舞いは、$ n_j/n $ の比に依存し、豊かな極限的性質を示す。

ABSTRACT

Assume a finite set of complex random variables form a determinantal point process, we obtain a theorem on the limit of the empirical distribution of these random variables. The result is applied to %We study the limits of the empirical distributions of the eigenvalues of two types of $n$ by $n$ random matrices as $n$ goes to infinity. The first one is the product of $m$ i.i.d. (complex) Ginibre ensembles, and the second one is the product of truncations of $m$ independent Haar unitary matrices with sizes $n_j imes n_j$ for $1\leq j \leq m$. Assuming $m$ depends on $n$, by using the special structures of the eigenvalues we developed, explicit limits of spectral distributions are obtained regardless of the speed of $m$ compared to $n$. For the product of $m$ Ginibre ensembles, as $m$ is fixed, the limiting distribution is known by various authors, e.g., Götze and Tikhomirov (2010), Bordenave (2011), O'Rourke and Soshnikov (2011) and O'Rourke {\it et al}. (2014). Our results hold for any $m\geq 1$ which may depend on $n$. For the product of truncations of Haar-invariant unitary matrices, we show a rich feature of the limiting distribution as $n_j/n$'s vary. In addition, some general results on arbitrary rotation-invariant determinantal point processes are also derived. Especially, we obtain an inequality for the fourth moment of linear statistics of complex random variables forming a determinantal point process. This inequality is known for the complex Ginibre ensemble only [Hwang (1986)]. Our method is the determinantal point process rather than the contour integral by Hwang.

研究の動機と目的

• 複素数の確率的変数が行列式点過程を形成する際の経験的分布の一般定理を確立すること。
• この定理を、二種類の積系確率的行列系に適用すること：i.i.d. Ginibre 行列の積およびハール単位的行列の切断の積。
• 行列数 $ m $ が $ n $ に従属する場合でも、これらの系に対して明示的かつ普遍的な極限スペクトル分布を導出すること。
• ハール単位的行列の切断の積の場合に、$ n_j/n $ の比に依存する極限分布の豊かな構造を解明すること。
• Ginibre 系に限らない、行列式点過程の線形統計量の四次モーメント不等式の既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 固有値の径方向挙動にのみ依存する、複素数の行列式点過程の経験的分布に関する一般極限定理を導出する。
• 両方の系において、固有値点過程に関連する核の回転対称性を利用する。
• 二つの系に対して、それぞれ固有値の絶対値を、i.i.d. ガンマ分布またはベータ分布の積として特徴付ける。
• 一般定理を $ m $ 個の i.i.d. Ginibre 行列の積に適用し、$ m $ が $ n $ に依存する場合でも収束する極限分布を示す。
• サイズ $ n_j \times n_j $ の $ m $ 個の独立したハール単位的行列の切断の積を分析し、$ n_j/n $ の漸近的挙動に依存する極限分布を導出する。
• 径方向成分と角成分への変換を施し、角度とスケーリングされた半径の上に定義された経験的測度 $ \mu_n $ および $ \nu_n $ に対して弱収束の議論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ m $ 個の i.i.d. $ n \times n $ Ginibre 行列の積の固有値の経験的分布は、$ n \to \infty $ のときどのように振る舞うか。$ m $ が $ n $ に依存してもよい。
• RQ2 $ m $ と比 $ n_j/n $ が $ n $ に従属するとき、$ m $ 個の独立したハール単位的行列の切断の積の極限スペクトル分布はどのように振る舞うか。
• RQ3 固有値の径方向構造にのみ依存する、行列式点過程の一般極限定理を導出可能か。
• RQ4 任意の回転対称行列式点過程の線形統計量の四次モーメント不等式は何か。これは、Ginibre 系に限らない、Hwang の結果をどのように拡張できるか。
• RQ5 ハール切断の積において、固有値の経験的測度が弱収束して非一様極限に至る条件は何か。

主な発見

• i.i.d. Ginibre 行列の積に対して、任意の $ m \geq 1 $ に対して極限スペクトル分布が明示的に導出され、$ m \to \infty $ であっても $ n $ に従属する場合を含め、固定 $ m $ の場合の先行結果を一般化する。
• ハール単位的行列の切断の積に対しては、極限分布が $ n_j/n $ の漸近的比に依存し、一様および非一様極限を含む多様な挙動を示す。
• $ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^m l_j \to \beta \in (0,\infty) $ のとき、極限固有値密度は $ |z| < 1 $ に対して $ \frac{\beta}{\pi |z|^2 (\beta - 2\log|z|)^2} $ である。
• $ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^m l_j \to \infty $ のとき、極限密度は $ |z| < 1 $ に対して $ \frac{1}{2\pi |z|^2 (1 - \log|z|)^2} $ に漸近する。
• $ \max_j |n/n_j - 1| \to 0 $ かつ $ m \to \infty $ のとき、極限固有値分布は単位円板上の一様分布となり、密度は $ \frac{1}{2\pi |z|} $ である。
• 回転対称行列式点過程の線形統計量の四次モーメント不等式が新たに確立され、Ginibre 系に限らない Hwang の結果を一般化する。