[論文レビュー] Encoding field theories into gravities

Sinya Aoki, Kengo Kikuchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、勾配フローを用いて、$d$次元の量子場の理論から、エネルギースケールを符号化するフロータイム$t$を追加座標として持つ、$d+1$次元の古典的幾何を一般に導出する手法を提案する。大$N$極限において、誘導された計量は古典的になる。2次元O(N)非線形$\sigma$模型において、質量ゼロ極限では計量の真空期待値が、アインシュタイン空間（AdS）幾何を再現する。

ABSTRACT

We propose a method to give a $d+1$ geometry from a $d$ dimensional quantum field theory in the large N expansion. We first construct a $d+1$ dimensional field from the $d$ dimensional one using the gradient flow equation, whose flow time $t$ represents the energy scale of the system such that $t ightarrow 0$ corresponds to the ultra-violet (UV) while $t ightarrow\infty$ to the infra-red (IR). We define the induced metric using $d+1$ dimensional field operators. We show that the metric defined in this way becomes classical in the large N limit: quantum fluctuations of the metric are suppressed as 1/N due to the large $N$ factorization property. As a concrete example, we apply our method to the O(N) non-linear $σ$ model in two dimensions. We calculate the three dimensional induced metric, which describes an AdS space in the massless limit. We finally discuss several open issues for future investigations.

研究の動機と目的

• $d$次元の量子場の理論から、$d+1$次元の幾何を一般に導出するフレームワークを確立すること。
• 大$N$極限において、$1/N$に比例して量子ゆらぎが抑制されることにより、誘導された計量が古典的になることの証明。
• 2次元O(N)非線形$\sigma$模型にこの手法を適用し、3次元における誘導計量を特定すること。
• 誘導された幾何が、特定の極限において既知の重力的背景（例：AdS）を再現するかを調査すること。
• 場の理論の観測可能量と誘導計量の幾何的性質との間の辞書の構築可能性を検討すること。

提案手法

• フロータイム$t$をエネルギースケールを表す追加座標として用い、$d+1$次元の場$\phi^{a,\alpha}(t,x)$を勾配フロー方程式で定義する。
• $d+1$次元空間$\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^d$における幾何的解釈を簡略化するため、新しい変数$\tau = 2\sqrt{t}$を導入する。
• 誘導計量$\hat{g}_{\mu\nu}(z)$を、$g_{ab}(\phi) h_{\alpha\beta} \partial_\mu \phi^{a,\alpha} \partial_\nu \phi^{b,\beta}$として構成し、場の配置を$\mathbb{R}^N$内の曲がった多様体に写像する。
• 大$N$展開において、$\tau > 0$により有限性が保証されるため、計量$\langle \hat{g}_{\mu\nu}(z) \rangle$の真空期待値を計算する。
• 大$N$ファクタリゼーションを用いて、$\hat{g}_{\mu\nu}$の量子ゆらぎが$O(1/N)$に比例して抑制されることを示し、この極限で計量が古典的になることを確認する。
• 2次元O(N)非線形$\sigma$模型にこの手法を適用し、3次元における誘導計量の真空期待値を計算し、質量ゼロ極限でAdSに近づくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配フローを用いて、$d$次元の量子場の理論から、$d+1$次元の幾何を体系的に導出できるか？
• RQ2 大$N$極限において、量子ゆらぎの抑制により、誘導計量が古典的になるか？
• RQ3 2次元O(N)非線形$\sigma$模型の誘導計量は、質量ゼロ極限でAdS幾何を再現するか？
• RQ4 場の理論のUVおよびIR挙動は、誘導計量の幾何的構造にどのように現れるか？
• RQ5 誘導計量にアインシュタイン方程式を一貫して適用し、エネルギー運動量テンソルなどの物理的観測可能量を抽出できるか？

主な発見

• フロータイム$\tau > 0$の下で、誘導計量$\langle \hat{g}_{\mu\nu}(z) \rangle$は有限であり、$d$次元で直接定義した場合に生じる発散を回避する。
• 大$N$極限において、計量の量子ゆらぎは$O(1/N)$に比例して抑制され、大$N$ファクタリゼーションにより計量が古典的になる。
• 2次元O(N)非線形$\sigma$模型において、質量ゼロ極限における3次元誘導計量の真空期待値は、$g_{\mu\nu} \sim \text{diag}(-1,1,1)/\tau^2$として表されるAdS空間を記述する。
• UV極限（$m\tau \to 0$）では、計量は$g_{\mu\nu} \sim h / [\tau^2 \log(m^2 \tau^2)]$と振る舞い、非共形的挙動を示す。
• IR極限（$m\tau \to \infty$）では、計量は$g_{\mu\nu} \sim h / \tau^2$に近づき、有効な宇宙定数$\Lambda_0^{\text{eff}} = [R_0^2 \log(m^2 R_0^2)]^{-1}$をもつ。$\log(m^2 R_0^2) < 0$のとき、漸近的にAdS幾何に近づく。
• アインシュタイン方程式から導かれるエネルギー運動量テンソル$T_{\mu\nu}$は、UVおよびIR極限で$T_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu}/(8\pi G \tau^2)$となる。両極限で$T_{\mu\nu}^{\text{matter}}$は消えるため、純粋な重力的背景であることが示される。