[論文レビュー] Endomorphisms and automorphisms of minimal symbolic systems with sublinear complexity

Ethan M. Coven, Reem Yassawi|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Cellular Automata and Applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分線形な複雑性を持つ最小の記号的系において、片側シフトの自己同型群は有限であり、両側シフトの自己同型群をシフトで割った群に対しても有限であることを確立する。自己同型の位数に対する明示的な上限を提示し、線形再帰的シフトの任意の自己準同型がシフトの冪の根であることを示し、ストゥルミアンおよび置換シフトに対する既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

We show that if the complexity difference function p(n+1)-p(n) of a infinite minimal shift is bounded, then the the automorphism group of the one-sided shift is finite, and the automorphism group of the corresponding two-sided shift "modulo the shift" is finite. For the minimal Sturmian and minimal substitution shifts, the bounds can be explicitly computed, and for linearly recurrent shifts, the bound can be expressed as a function of the linear recurrence constant. We also show that any endomorphism of a linearly recurrent shift is a root of a power of the shift map.

研究の動機と目的

• 部分線形複雑性を持つ最小の記号的系の自己同型群の有限性と、明示的な境界を特定すること。
• ストゥルミアンおよび置換シフトの自己同型に関する既知の結果を、部分線形複雑性を持つより広いクラスの系へと拡張すること。
• 片側線形再帰的シフトの自己準同型を特徴づけ、それらがシフト写像の冪の根であることを示すこと。
• 分岐点や漸近的軌道といった構造的不変量を用いて、自己同型の位数に対する計算可能な境界を提供すること。

提案手法

• 複雑性の差分関数に関するカサインの結果を用い、分岐点および右漸近的軌道の数を制限する。
• 補題3.2および3.3を適用し、自己同型が特殊点（分岐点および漸近的軌道）の有限集合への作用によって決定されることを示す。
• 右漸近的軌道の∼関係による同値類を定義し、両側自己同型群をシフトで割った群を分析する。
• 定数Kを用いた線形再帰性の概念を活用し、自己同型の位数に対する定量的境界を導出する。
• Durand (2000) の結果（線形再帰的シフトの自己準同型は自己同型である）を用い、両側系から片側系への結果の拡張を行う。
• 局所規則および置換認識可能性を用いて、具体的な例を分析し、境界の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分線形複雑性を持つ最小の片側シフトにおいて、自己同型の最大位数は何か？
• RQ2 分岐点および右漸近的軌道の構造は、シフトで割った自己同型群のサイズをどのように制約するか？
• RQ3 片側線形再帰的シフトの自己準同型は、シフト写像の冪の根として特徴づけられるか？
• RQ4 再帰定数や置換構造に基づいて、自己同型群のサイズに対する明示的な境界を導出できるか？
• RQ5 自己準同型がシフトの冪でないが、シフトと有限位数の関係を満たす例は存在するか？

主な発見

• 部分線形複雑性を持つ最小の片側シフトに対して、自己同型群は有限であり、その位数は任意のk ≥ 2についての分岐点の最小数以下である。
• 両側バージョンでは、自己同型群をシフトで割った群は有限であり、そのサイズは任意のk ≥ 2についての右漸近的軌道の∼同値類の最小数以下である。
• 再帰定数Kを用いた線形再帰的シフトに対して、自己同型群のサイズは、片側および両側の両方で2(K+1)(2K+3)²以下に抑えられる。
• 片側線形再帰的シフトの任意の自己準同型は、あるk ≤ 2(K+1)(2K+3)²について、シフトの冪のk乗根である。
• シフトの冪でないがΦ² = σ²を満たす自己準同型が存在し、これにより境界をΦがσの冪であると制限することはできないことが示された。
• k文字の原始的置換シフトに対して、自己同型群をシフトで割った群のサイズはk²以下であり、これは一般の境界と整合的である。