[論文レビュー] Energy concentration and brittle crack propagation

Marius Buliga|ArXiv.org|Oct 11, 2005

Fatigue and fracture mechanics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、破壊のき裂伝播に関するグリフィスおよびアイrwin基準を、事前に指定されたき裂経路に依存しない幾何学的自由不連続問題として再定式化する。エネルギー集中度の測度を導入し、エネルギー解放率が上側集中係数によって上限で抑えられることを証明することで、古典的破壊力学とSBV空間における現代的変分的アプローチとの間の厳密な関係を確立する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to fill the gap between the classical treatment of brittle fracture mechanics and the new idea of considering the crack evolution as a free discontinuity problem. Griffith and Irwin criterions of crack propagation are studied and transformed in order to be no longer dependent on any prescription of the geometry of the crack during its evolution. The inequality contained in theorem 6.1. represents the link between generalized Irwin and Griffith criterions of brittle crack propagation. The physical meaning of this inequality is explained in the last section. Further information available at http://irmi.epfl.ch/cag/buliga_bfrac.html .

研究の動機と目的

• 事前に指定されたき裂幾何形状に依存しないように、古典的破壊力学と現代的自由不連続問題を結びつけること。
• 仮定されたき裂経路に依存しない幾何的に内因的な方法で、グリフィスおよびアイrwin基準を再定式化すること。
• エネルギー集中度の測度、特に上側集中係数 $ CM^+ $ を導入し、き裂伝播の特徴づけに用いるための分析を行うこと。
• 弾性体におけるき裂進化のモデリングに、SBVおよびSBD空間を用いた変分的枠組みを確立すること。
• エネルギー解放率が集中係数によって上限で抑えられることを証明し、き裂伝播ダイナミクスの新たな物理的解釈を提供すること。

提案手法

• 破壊された弾性体における不連続な変位場を表現するために、有界変動関数の特別な空間（SBV）を用いる。
• 変分的枠組みにおける境界条件をモデル化するため、破壊された体に対するディリクレからノイマンへの写像を定義する。
• 滑らかなき裂伝播を領域内の曲線として記述するため、1パrameter族の微分同相 $ \phi_t $ を導入する。
• 一般化されたライスJ積分およびエネルギー集中度の測度を再定式化し、き裂進化中のエネルギー解放を定量化する。
• き裂上での $ \eta \cdot \mathbf{n} = 0 $ を満たす $ C^1 $-正則ベクトル場 $ \eta $ の文脈で、フラックス発散および部分積分の技法を適用する。
• エネルギー解放率を表す測度 $ |K2|(\mathbf{u}) $ と、その上限としての $ CM^+ $ を用い、弱微分および分布的恒等式を用いてそれらの関係を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリフィスおよびアイrwinのき裂伝播基準を、事前に指定されたき裂経路を仮定せずに再定式化する方法は何か？
• RQ2 き裂進化の文脈において、エネルギー集中係数 $ CM^+ $ の幾何学的・物理的意味は何か？
• RQ3 SBV関数の変分的枠組みにおいて、測度 $ |K2|(\mathbf{u}) $ と $ CM^+ $ はどのように関係するか？
• RQ4 き裂のパrametric進化に依存しない幾何的測度によって、き裂伝播中のエネルギー解放率が上限で抑えられるか？
• RQ5 エネルギー抽出効率の観点から、等式 $ |K2|(\mathbf{u}) = CM^+ $ の物理的解釈は何か？

主な発見

• 定理6.1は、不等式 $ |K2|(\mathbf{u})(\Omega) \leq \sup\{ \mathcal{E}(\eta) \} \leq CM^+(\mathbf{u})^C(\Omega) $ を確立し、エネルギー解放率と集中係数を結びつける。
• 任意の滑らかなき裂伝播（単位速度未満）に対して、エネルギー解放率 $ \mathcal{E}(\eta) $ は $ CM^+ $ によって上界で抑えられ、$ |K2| $ によって下界でも抑えられ、変分的境界の存在を証明する。
• 証明により、$ \mathbf{u} \in W^{1,2,\infty}_K(\mathbf{u}^0) \cap W^{2,2}_{\text{loc}}(\Omega \setminus K) $ かつ $ |K2|(\mathbf{u}) \leq CM^+(\mathbf{u})^C $ であれば $ \mathbf{u} = \mathbf{u}(K, \mathbf{u}^0) $ が成り立つことが示され、平衡変位場の一意性が確認される。
• 応力場 $ \sigma $ は a.e. で $ \text{div}\, \sigma = 0 $ かつ $ K $ 上で $ \sigma \mathbf{n} = 0 $ を満たすことが示され、き裂表面に引っ張り力が作用しないことを意味する。
• エネルギー集中測度 $ |K2|(\mathbf{u}) $ は $ K $ 上に特異部を持ち、密度が $ |\sigma \mathbf{n}| $ であるが、与えられた仮定のもとでこれは消えることが確認され、平衡条件が成立する。
• 物理的解釈として、き裂伝播は最大の可能なエネルギー抽出レートで発生しており、等式 $ |K2| = CM^+ $ が破壊過程における最適なエネルギー転送に対応することが示唆される。