[論文レビュー] Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Rebits

Carlton M. Caves, Christopher A. Fuchs+1 more|ArXiv.org|Sep 14, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、実数上の2レベル量子系（rebits）としての任意の混合状態の量子もつれの形成について、変換された密度行列のトレースを用いて定義される実数のconcurrence測度を用いて、明示的な公式を導出する。主な結果は、もつれの形成が、特定の実数転置作用素の下での状態のトレースの絶対値によってパrameter化された量子ビット状態のバイナリエントロピーに等しいことである。これは、実数のもつれが標準的な複素数量子もつれとは根本的に異なり、複素数の下では分離可能だが実数の下ではもつれている状態が存在する「束縛もつれ」を含む、実数系におけるもつれの本質的相違を示している。

ABSTRACT

We consider entanglement for quantum states defined in vector spaces over the real numbers. Such real entanglement is different from entanglement in standard quantum mechanics over the complex numbers. The differences provide insight into the nature of entanglement in standard quantum theory. Wootters [Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)] has given an explicit formula for the entanglement of formation of two qubits in terms of what he calls the concurrence of the joint density operator. We give a contrasting formula for the entanglement of formation of an arbitrary state of two ``rebits,'' a rebit being a system whose Hilbert space is a 2-dimensional real vector space.

研究の動機と目的

• 実数ベクトル空間上で定義された量子系におけるもつれの完全な特徴付けを、標準的な複素数量子力学とは対比して行う。
• もつれの形成の概念を量子ビットに限らず、2rebitsの任意の混合状態へと拡張する。
• 実数もつれと複素数もつれの相違、特に分離可能性と束縛もつれの文脈における相違を特定する。
• 実数量子形式におけるもつれの形成の閉形式の公式を提供する。これは、Woottersの量子ビット用公式に類似している。

提案手法

• rebitを、実数上のヒルベルト空間を持つ2準位量子系として定義する。
• 密度行列の部分転置に基づいて導出される、実数concurrence $ C(\rho) = |\mathrm{Tr}(\rho \sigma_y \otimes \sigma_y)| $ を導入する。
• 純状態分解における平均エントロピーの最小値として、凸包構成を用いてもつれの形成を定義する。
• もつれの形成が $ E(\rho) = \mathcal{E}(|\mathrm{Tr}(\tau)|) $ で与えられることを確立し、ここで $ \mathcal{E}(C) = H\left( \frac{1 + \sqrt{1 - C^2}}{2} \right) $、$ H $ はバイナリエントロピー関数である。
• 2rebit状態が実数分離可能（real-separable）であるための必要十分条件が $ \mathrm{Tr}(\rho \sigma_y \otimes \sigma_y) = 0 $ であること、すなわち部分転置に対して不変であることであることを証明する。
• 実数concurrenceをWoottersの複素数concurrenceと比較し、複素数もつれが存在しない状況でも実数もつれが存在しうることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数量子力学（rebits）におけるもつれは、標準的な複素数量子力学（qubits）におけるもつれとどのように異なるか？
• RQ2 任意の2rebits状態に対して、もつれの形成の閉形式表現を導出できるか？
• RQ3 部分転置は、実数量子系におけるもつれ検出にどのように寄与するか？また、複素数の場合とはどのように異なるか？
• RQ4 複素数の下では分離可能だが実数の下ではもつれている状態は存在するか？これは束縛もつれに何を意味するか？
• RQ5 実数量子力学におけるもつれの構造は、一般的特徴であると見なせるか？また、これはもつれの本質的要因を特定するのをどの程度支援するか？

主な発見

• 任意の2rebit状態のもつれの形成は、$ E(\rho) = H\left( \frac{1 + \sqrt{1 - C^2}}{2} \right) $ で与えられ、ここで $ C = |\mathrm{Tr}(\rho \sigma_y \otimes \sigma_y)| $ であり、完全な解析的公式が得られる。
• 2rebit状態が実数分離可能であるための必要十分条件は $ \mathrm{Tr}(\rho \sigma_y \otimes \sigma_y) = 0 $ であり、これは部分転置に対して不変であることに等しい。
• 実数concurrence $ C $ は、$ \rho \sigma_y \otimes \sigma_y $ のトレースの絶対値として定義され、Woottersの複素数concurrenceとは根本的に異なる。後者は行列 $ \tau \tau^\dagger $ の特異値に依存する。
• 状態族 $ \rho = \frac{1}{4}(I \otimes I + \alpha \sigma_y \otimes \sigma_y) $ に対して、実数concurrenceは $ C = \alpha $ であるが、Woottersのconcurrenceは $ C_W = 0 $ である。これは、これらの状態が実数もつれを有するが、複素数では分離可能であることを示している。
• これらの状態は実数形式において束縛もつれを示す：実数の下ではもつれており、かつ複素数の下では分離可能であるため、蒸留可能なもつれを持たない。
• 結果として、標準的量子力学における束縛もつれが、本質的な非蒸留可能性に起因するのではなく、体の選択に起因する可能性があることが示された。実数もつれは、複素数もつれが存在しない状況でも束縛的であることがある。