[論文レビュー] Entire functions of several variables of bounded index

Andriy Bandura, О. Б. Скасків|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2015

Meromorphic and Entire Functions被引用数 7

ひとこと要約

この独著は、与えられた方向 $ \boldsymbol{b} $ における複素変数の整関数の有界 $ L $-指数の新しい概念を導入し、古典的な有界指数理論を一般化する。方向微分と対数微分を用いた有界性の基準を確立し、一変数の結果を複数変数に拡張するが、偏微分に基づく従来の手法の技術的制限を克服する。

ABSTRACT

This monograph is devoted to the theory of entire functions of several variables. A definition of bounded index was supposed by B. Lepson. We generalised his definition for several variables and obtained criteria of L-index boundedness in direction. In particular we obtained obtain analogues of one-dimensional criterion of boundedness L-index in terms of behaviour the logarithmic derivative outside of zero sets, sufficient conditions of L-index boundedness in direction for some subclass of entire functions with "plane" zeros, sufficient conditions of L-index boundedness of entire solutions for some partial differential equations. Besides differential equations, entire functions of bounded index have application in the theory of value distribution. The monograph is published by "Chyslo": http://chyslo.com.ua/index.php?route=product/category&path=62

研究の動機と目的

• 一変数の有界指数の概念を、方向微分を用いて複素変数の整関数へと拡張すること。
• 偏微分に基づく従来の手法の制限、特に無限積の零点集合と成長の解析においての制限を克服すること。
• 零点集合の外で対数微分の挙動を用いた有界 $ L $-指数の特徴づけを確立すること。
• 線形微分方程式系の整関数解が連続変数における有界 $ L $-指数を有するための十分条件を提供すること。
• 既存の有界指数および有界 $ l $-指数理論を多次元設定で統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 連続な主要化関数 $ L: \bbC^n \to \bbR_+ $ を用いて、方向微分 $ \frac{\big|\frac{\nabla_{\boldsymbol{b}}^m F(z)}{m! L^m(z)}\big| $ の成長に基づき、方向 $ \boldsymbol{b} $ における有界 $ L $-指数の整関数を定義する。
• 多変数解析を一変数整関数に還元するため、方向スライス関数 $ g_z(t) = F(z + t\boldsymbol{b}) $ を導入する。
• 零点集合の外で有界性を特徴づけるために、対数微分 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ を用い、偏微分に依存しない方法を採用する。
• 線分 $ z + t\boldsymbol{b} $ 沿いでの $ L $-値の比を制御するため、$ \rho_{\boldsymbol{b}}(z,t_0,\rho) $ および $ \rho_{\boldsymbol{b}}(z,\rho) $ を定義し、一様性を保証する。
• 関数 $ L $ が満たすべき条件を示すクラス $ \bQ^n_{\boldsymbol{b}} $ を導入し、$ 0 < \tilde{\rho}_1(\rho) \triangleq \tilde{\rho}_1^{\boldsymbol{b}}(\rho) \triangleq \text{ess inf} \frac{L(z+t\boldsymbol{b})}{L(z+t_0\boldsymbol{b})} \text{ over } |t-t_0| \rho/L(z+t_0\boldsymbol{b}) $ を満たすことで、正則性を保証する。
• 零点の周囲に $ 1/L $ スケールで閉円板をとった集合 $ G_r^{\boldsymbol{b}}(F,z^0) $ を定義し、潜在的成長領域を局所化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一変数の有界指数の概念は、方向微分を用いて複素変数の整関数へと一般化可能か？
• RQ2 関数 $ F $ と主要化関数 $ L $ にどのような条件を課すと、$ F $ が与えられた方向 $ \boldsymbol{b} $ で有界 $ L $-指数をもつようになるか？
• RQ3 零点集合の外で対数微分 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ の挙動が、複数変数における有界 $ L $-指数をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 線形微分方程式系の整関数解が連続変数における有界 $ L $-指数をもつための十分条件は何か？
• RQ5 新しいアプローチは、偏微分に基づく従来手法の技術的制限を克服できるか、特に平面的零点を持つ無限積に対しては？

主な発見

• 本稿では、適切な $ L $-正則性のもとで、零点集合の外で対数微分 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ の一様有界性が、方向 $ \boldsymbol{b} $ における有界 $ L $-指数の整関数の特徴づけであると確立している。
• $ L \triangleq \text{const} $ の場合、新しい定義は古典的な方向 $ \boldsymbol{b} $ における有界指数に還元され、既知の結果と整合性を保つ。
• クラス $ \bQ^n_{\boldsymbol{b}} $ により、関連する近傍内で $ \frac{L(z+t\boldsymbol{b})}{L(z+t_0\boldsymbol{b})} $ が 0 や $ \infty $ から離れて有界に保たれることを保証し、一様推定が可能になる。
• 方向 $ \boldsymbol{b} $ における有界 $ L $-指数をもつ関数 $ F $ に対して、最大モジュラス $ M(r,F,z) $ は、定数 × $ \text{exp}( \text{const} \times r ) $ のオーダーで成長する。定数は $ L $ と $ \boldsymbol{b} $ に依存する。
• 新しい枠組みにより、平面的零点集合（例えば無限積など）をもつ整関数の解析が可能となり、従来の偏微分に基づく定義では問題となっていた点を克服した。
• 連続変数における有界 $ L $-指数のための十分条件が導出され、線形微分方程式系の解に関する既存の結果が、新しい方向的枠組みへと拡張された。