[論文レビュー] Entire solutions of delay differential equations of Malmquist type

Ranran Zhang, Zhi-Bo Huang|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Meromorphic and Entire Functions参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、超周期が1未塔である超越的整関数解を有するMalmquist型遅延微分方程式を調査し、そのすべての簡約形を同定する。従来の結果では、有理関数の分母がzに関する非ゼロ有理関数としての根を持つという制限付き仮定がなされていたが、本稿ではその仮定を除去し、このような解の成長および値分布の性質を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the delay differential equations of Malmquist type of form \begin{equation*} w(z+1)-w(z-1)+a(z)\frac{w'(z)}{w(z)}=R(z, w(z)),~~~~~~~~~~~~~~(*) \end{equation*} where $R(z, w(z))$ is an irreducible rational function in $w(z)$ with rational coefficients and $a(z)$ is a rational function. We characterize all reduced forms when the equation $(*)$ admits a transcendental entire solutions with hyper-order less than one. When we compare with the results obtained by Halburd and Korhonen[Proc.Amer.Math.Soc., forcoming],we obtain the reduced forms without the assumptions that the denominator of rational function $R(z,w(z))$ has roots that are nonzero rational functions in $z$. The growth order and value distribution of transcendental entire solutions for the reduced forms are also investigated.

研究の動機と目的

• 超周期が1未塔である超越的整関数解を有するMalmquist型遅延微分方程式のすべての簡約形を同定すること。
• 有理関数の分母の根がzに関する非ゼロ有理関数であるという仮定を課さずに、簡約結果を得られるかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 簡約形に対する超越的整関数解の成長順序および値分布を調査すること。
• HalburdとKorhonenの以前の研究で課せられた制約を超えて、遅延微分方程式におけるMalmquist型定理を拡張すること。

提案手法

• ネヴァンリンナ理論を用いて、特に超周期およびゼロの欠損度に注目し、メラモーフィック関数の成長および値分布を分析する。
• 小関数の概念および特徴関数T(r, f)を用い、解とそのシフトの成長を比較する。
• ハダマール因数分解定理を用いて、整関数解をw(z) = H(z)e^{g(z)}の形に表現する。ここでHは多項式、gは超越的整関数である。
• w(z+1) - w(z-1)のような解のシフトを含む重要な恒等式を導出し、特徴関数の推定を用いてその漸近的挙動を分析する。
• シフト関数の成長に関する補題5.1を適用し、T(r, f(z+c))とT(r, f(z))を比較し、有限反復順序を仮定した場合の矛盾を導出する。
• 解の構造およびその導関数に関する場合分けを実施し、不可能な構成を排除することで、有効な簡約形の分類に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理関数の分母の根がzに関する非ゼロ有理関数であるという仮定を課さずに、Malmquist型遅延微分方程式の簡約結果を得られるか。
• RQ2 超周期が1未塔である超越的整関数解を許容する完全な簡約形の集合は何か。
• RQ3 このような解について、a-値の成長順序および値分布はどのように振る舞うか。
• RQ4 簡約形に対するすべての整関数解の有限反復順序を分類することは可能か。

主な発見

• 方程式(1.2)は、w(z+1) - w(z-1) + a(z)w'(z)/w(z) = a₁(z)w(z) + a₀(z)、またはw(z+1) - w(z-1) + a(z)w'(z)/w(z) = (a₂(z)w(z)² + a₁(z)w(z) + a₀(z))/w(z)のいずれかの形に簡約される。ここでa₂, a₁, a₀は有理関数である。
• 従来の仮定（分母の根がzに関する非ゼロ有理関数であること）を除去したにもかかわらず、簡約形は有効である。これにより、以前の結果が一般化された。
• 簡約形に対しては、整関数解の超周期σ₂(w) < 1を満たし、ゼロの欠損度Θ(0, w) = 0である。これはゼロが欠損値でないことを示している。
• 方程式w(z+1) - w(z-1) + a(z)w'(z)/w(z) = a₁(z)w(z) + a₀(z)は、特徴関数の推定を用いた背理法により、有限反復順序の整関数解を有さないことが示された。
• 解の値分布の結果から、w(z)および関連する式のゼロは欠損度を持たないことが判明し、ネヴァンリンナ理論の意味で均等に分布していることが示唆される。
• 証明技法により、シフト関数の成長を比較し、反復順序解析を用いて矛盾を導出することで、有限反復順序を有する構成を効果的に排除できた。