[論文レビュー] Entire subsolutions of fully nonlinear degenerate elliptic equations

Italo Capuzzo Dolcetta, Fabiana Leoni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、$f$ が正で連続かつ非減少であると仮定したとき、$\mathbb{R}^n$ 内で $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$ および $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$ の形をした完全非線形退化楕円型不等式に対して、全空間における粘性下位解の存在に関して、Keller–Osserman 条件が必要かつ十分であることを確立している。証明は、関連する常微分方程式の回転対称解との比較に依拠しており、古典的結果を退化楕円型作用素へと拡張している。

ABSTRACT

We prove existence and non existence results for fully nonlinear degenerate elliptic inequalities, by showing that the classical Keller--Osserman condition on the zero order term is a necessary and sufficient condition for the existence of entire sub solutions.

研究の動機と目的

• 完全非線形退化楕円型不等式の全空間における粘性下位解の存在および非存在の基準を確立すること。
• $\mathcal{P}^{+}_{k}$ や $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ のような退化楕円型作用素へ、古典的 Keller–Osserman 条件を拡張すること。
• 零次項 $f(u)$ が下から有界で非減少である場合に、Keller–Osserman 条件が依然として必要かつ十分であるかどうかを検討すること。
• 退化ヘッセ作用素の文脈において、吸収されない正の零次項を分析することで、文献におけるギャップを埋めること。
• 関数 $f$ および $F$ に対する最小限の構造的仮定のもとで、非存在結果を統一的枠組みで提示すること。

提案手法

• 完全非線形退化楕円型偏微分方程式に対する粘性解理論の利用。
• 対称性と比較原理を活用した、関連する常微分方程式の解を用いた回転対称下位解の構成。
• 下位解と回転対称関数との間の比較議論を応用し、必要十分条件を導出すること。
• $\mathcal{P}^{+}_{k}$ や $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ のような非一様楕円型でない退化作用素に対し、古典的 Keller–Osserman 技法の適応。
• $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ の最大性を活用し、より広いクラスの退化作用素へ結果を拡張すること。
• 関数 $f$ に関する積分的条件への問題の還元、特に $\int_0^{\infty} \left(\int_0^t f(s)\,ds\right)^{-1/2} dt$ の収束または発散の条件。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $f$ が正で連続かつ非減少であるとき、$\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$ に対して Keller–Osserman 条件が全空間における粘性下位解の存在に関して必要かつ十分であるか。
• RQ2 同様の $f$ の仮定のもとで、退化最大 Pucci 作用素 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$ に対しても同様の条件が成り立つか。
• RQ3 吸収されない零次項で、下から有界かつ非減少である場合に、Keller–Osserman 条件を拡張できるか。
• RQ4 主部と零次項の両方における退化が、全解の存在または禁止に果たす役割は何か。
• RQ5 非同次方程式 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) = f(u) - g(x)$ が有界な粘性解をもつための条件は何か。

主な発見

• $1 \leq k \leq n$ のもとで、$\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$ に対して、全空間における粘性下位解の存在に関して、Keller–Osserman 条件 $\int_0^{\infty} \left(\int_0^t f(s)\,ds\right)^{-1/2} dt = \infty$ が必要かつ十分である。
• $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$ に対しては、$f$ が正で連続かつ厳密に増加であるとき、同様に Keller–Osserman 条件が全空間における粘性下位解の存在に関して必要かつ十分である。
• $f$ が非減少かつ下から有界であっても、弱い成長条件（例えば、$f(t) \geq \tilde{f}(t)$ で $\tilde{f}$ が条件を満たすもの）を満たす限り、条件は依然として必要である。
• 補題 3.7 により、$\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) = f(u) - g(x)$ に対して、$\inf g > \inf f$ ならば有界な粘性解が存在し、$\sup g \leq \inf f$ ならば存在しないことが示された。この結果は $f$ に関する積分条件のもとで成り立つ。
• 主部および零次項の両方に退化が存在する場合でも、比較原理が成立し、古典的結果を退化設定へと拡張可能である。
• Remark 3.8 で示されるように、$F(x, O) = 0$ かつ楕円型条件を満たすより広いクラスの作用素 $F(x, D^2u)$ に対しても、結果は拡張可能である。