[论文解读] Entropic and displacement interpolation: a computational approach using the Hilbert metric

Yongxin Chen, Tryphon T. Georgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于希尔伯特度量的最优质量传输（OMT）与薛定谔桥的计算框架，通过压缩映射实现高效的数值求解。该方法提供了贾米森定理的新证明，并提出了一种快速、收敛的算法，用于插值概率密度，已在图像变形应用中得到验证。

ABSTRACT

Monge-Kantorovich optimal mass transport (OMT) provides a blueprint for geometries in the space of positive densities -- it quantifies the cost of transporting a mass distribution into another. In particular, it provides natural options for interpolation of distributions (displacement interpolation) and for modeling flows. As such it has been the cornerstone of recent developments in physics, probability theory, image processing, time-series analysis, and several other fields. In spite of extensive work and theoretical developments, the computation of OMT for large scale problems has remained a challenging task. An alternative framework for interpolating distributions, rooted in statistical mechanics and large deviations, is that of Schroedinger bridges (entropic interpolation). This may be seen as a stochastic regularization of OMT and can be cast as the stochastic control problem of steering the probability density of the state-vector of a dynamical system between two marginals. In this approach, however, the actual computation of flows had hardly received any attention. In recent work on Schroedinger bridges for Markov chains and quantum evolutions, we noted that the solution can be efficiently obtained from the fixed-point of a map which is contractive in the Hilbert metric. Thus, the purpose of this paper is to show that a similar approach can be taken in the context of diffusion processes which i) leads to a new proof of a classical result on Schroedinger bridges and ii) provides an efficient computational scheme for both, Schroedinger bridges and OMT. We illustrate this new computational approach by obtaining interpolation of densities in representative examples such as interpolation of images.

研究动机与目标

• 开发一种高效计算方法，用于求解高维设置下的最优质量传输（OMT）与薛定谔桥问题。
• 建立希尔伯特度量、压缩映射与扩散过程薛定谔系统求解之间的联系。
• 基于希尔伯特度量框架，为薛定谔系统解的存在性与唯一性这一经典雅米森结果提供一种新的构造性证明。
• 实现熵正则化与位移插值的实用计算，应用于图像变形等任务。
• 通过基于希尔伯特度量的统一计算原理，将OMT与薛定谔桥的几何框架统一起来。

提出的方法

• 该方法基于在希尔伯特度量下为压缩映射的固定点迭代，确保收敛至薛定谔桥问题的解。
• 薛定谔桥问题的解被表示为作用于概率测度上的非线性算子的唯一不动点。
• 利用希尔伯特度量建立迭代映射的压缩性质，保证全局收敛。
• 该方法利用薛定谔桥与OMT之间的对偶性，表明OMT是薛定谔桥框架在噪声趋于零时的极限形式。
• 通过希尔伯特度量压缩的迭代更新实现算法，收敛性通过弱收敛与紧致性论证得到证明。
• 在图像插值中应用该方法，将像素强度视为概率密度，并计算熵正则化插值。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特度量能否用于构建求解扩散过程中薛定谔桥问题的收敛且计算高效的算法？
• RQ2 在噪声趋于零的极限下，薛定谔桥框架与最优质量传输之间有何关系？
• RQ3 希尔伯特度量在确保薛定谔系统解的压缩性与唯一性方面发挥何种作用？
• RQ4 基于希尔伯特度量的固定点迭代能否用于实际应用（如图像变形）中的熵正则化与位移插值计算？
• RQ5 能否基于希尔伯特度量框架，为雅米森关于薛定谔系统解的存在性与唯一性的经典定理提供一种新的构造性证明？

主要发现

• 基于希尔伯特度量的固定点迭代能全局收敛至扩散过程薛定谔桥问题的唯一解。
• 该方法为雅米森关于薛定谔系统解的存在性与唯一性的经典结果提供了新的构造性证明。
• 薛定谔桥问题的解在零噪声极限下收敛至OMT的位移插值，建立了两种框架之间的计算联系。
• 该算法实现快速收敛且数值稳定，其在图像变形中的成功应用表明插值结果平滑且视觉合理。
• 希尔伯特度量压缩确保迭代映射严格为压缩映射，无论初始条件如何，均保证收敛。
• 该方法同时构造了联合测度π与参考测度ν，使得dπ/dν = q且dν/dπ = 1/q，其中ν为乘积测度，π为满足边缘约束的概率测度。