[論文レビュー] Entropy-expansiveness for partially hyperbolic diffeomorphisms

Todd Fisher, Lorenzo J. Díaz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、部分的双曲的微分同相写像がコンパクトな不変集合上で、1次元の中心バンドルに分離された支配的分解を持つ場合（すなわち、$E^s \oplus E_1 \oplus \cdots \oplus E_k \oplus E^u$）に、エントロピー拡張性を有することを確立する。証明は、安定・不安定多様体に沿った制御された力学と、支配的分解下での恒続的ホモクラインねじれの不在に依拠し、その結果、このような系は主な記号的拡張と平衡状態を有することを導く。

ABSTRACT

We show that diffeomorphisms with a dominated splitting of the form $E^s\oplus E^c\oplus E^u$, where $E^c$ is a nonhyperbolic central bundle that splits in a dominated way into 1-dimensional subbundles, are entropy-expansive. In particular, they have a principal symbolic extension and equilibrium states.

研究の動機と目的

• 支配的1次元中心部分束への分解を有する部分的双曲的微分同相写像のエントロピー拡張性を確立すること。
• 一様双曲的および表面系におけるエントロピー拡張性の既知の結果を、支配的分解下での高次元中心方向へ拡張すること。
• 非一様双曲的状況下で主な記号的拡張と平衡状態の存在を保証する十分条件を提供すること。
• 支配的分解およびホモクラインねじれの不在がエントロピー拡張性を保証する役割を明確にすること。
• $C^2$微分同相写像が記号的拡張を有することを示す予想に対し、エントロピー拡張性を保証する構造的条件を同定すること。

提案手法

• 写像の繰り返しによる小さな球の逆像の交わりを通じてエントロピー拡張性の概念を用いる。
• 安定、中心、不安定バンドル間の相対的拡張・収縮率の制御に、支配的分解の概念を適用する。
• 中間的な安定・不安定多様体に沿った点の再帰的構成を用いて距離を追跡し、非自明な交わりを検出する。
• 1次元中心バンドル構造によって保証される恒続的ホモクラインねじれの不在を用い、エントロピー非拡張性を防ぐ。
• 不変集合上での微分同相写像の力学における局所的積構造と制御された歪みに関する幾何的議論を適用する。
• 主定理から帰結を導くために、[DN]および[BFF]の記号的拡張と平衡状態に関する結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配的分解のどのような条件下で、部分的双曲的微分同相写像がエントロピー拡張性を有するか？
• RQ2 中心バンドルが1次元部分束に分解される場合でさえ、全中心バンドルが高次元であってもエントロピー拡張性が保証されるか？
• RQ3 このような系において、恒続的ホモクラインねじれの不在はエントロピー拡張性を示唆するか？
• RQ4 支配的分解構造は、摂動によって非拡張的挙動が生じるのをどの程度防ぐか？
• RQ5 エントロピー拡張性は、非一様双曲的系において主な記号的拡張と平衡状態の存在を保証するために用いることができるか？

主な発見

• すべての $E_i$ が1次元である限り、$Λ$ が支配的分解 $E^s \oplus E_1 \oplus \cdots \oplus E_k \oplus E^u$ を持つとき、微分同相写像 $f|_{\Lambda}$ はエントロピー拡張性を有する。
• $E^s$ や $E^u$ が自明であっても成立するため、強い安定・不安定方向が存在しない部分的双曲的系に対しても成立する。
• 1次元中心構造によって保証される恒続的ホモクラインねじれの不在が、エントロピー拡張性を保証する。
• その結果、$f|_{\Lambda}$ はエントロピー構造を保存する主な記号的拡張を有する。
• 任意の連続ポテンシャル $\varphi$ に対して、系 $f|_{\Lambda}$ は少なくとも1つの平衡状態を有する。
• この結果は鋭いといえる。$C^1$-一般の微分同相写像で、非双曲的かつ分解不能な中心バンドル（次元 $\geq 2$）を有する系はエントロピー拡張性を有しないことが示されており、1次元中心バンドル条件の必要性を示している。