[論文レビュー] Entropy of XY Spin Chain and Block Toeplitz Determinants

A. R. Its, Bai-Qi Jin+1 more|ArXiv.org|Jun 21, 2006

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、整数化可能なフレドホルム作用素とリーマン＝ヒルベルト法を用いて、横磁場を有する無限大XYスピン鎖の基底状態におけるL個の隣接スピンからなるブロックのフォン・ノイマンエントロピーを解析的に計算する。エントロピーはLが大きい極限で定数に近づき、楕円関数で表されるが、臨界性に起因する長距離もつれによって量子相転移において発散する。

ABSTRACT

We consider entanglement in the ground state of the XY spin model on infinite chain. We use von Neumann entropy of a sub-system as a measure of entanglement. The entropy of a large block of neighboring spins approaches a constant as the size of the block increases. We prove rigorously expression for limiting entropy which was published before. We observe that the entropy reaches minimum at product states but increases boundlessly at phase transitions.

研究の動機と目的

• 無限大XYスピン鎖の基底状態におけるスピンの巨視的ブロックの漸近的もつれエントロピーを導出すること。
• もつれが系のサイズにどのように依存し、異方性パラメータと横磁場にどのように依存するかを理解すること。
• 量子相転移においてもつれエントロピーが発散する理由を解明し、その発散の関数的形を特定すること。
• 整数化可能な作用素と特殊関数を用いた、量子スピン鎖のための厳密な解析的枠組みを確立すること。

提案手法

• エントロピーは、マヨラナフェルミオン相関から導かれるブロックトーペリッツ行列の固有値νₘを用いて計算される。
• この方法では、固有値スペクトルを符号化する修正されたブロックトーペリッツ作用素Dₗ(λ) = det(ıλIₗ − Bₗ)のフレドホルム行列式が用いられる。
• L → ∞における行列式Dₗ(λ)の漸近的挙動を解析するためにリーマン＝ヒルベルトアプローチが適用される。
• エントロピーは、Dₗ(λ)の対数微分を含む contour 積分として表現され、コーシーの留数定理によって変換される。
• 解は、スペクトルパラメータとモジュラーパラメータτから導かれるヤコビのシータ関数を含む実軸上の積分に還元される。
• 最終的な結果は、臨界的挙動がτ → 0におけるランデン変換を用いて解析可能な楕円関数の形で表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XYスピン鎖の基底状態におけるL個の隣接スピンからなる大きなブロックのフォン・ノイマンエントロピーの漸近的値は何か？
• RQ2 もつれエントロピーは異方性パラメータγと横磁場hにどのように依存するか？
• RQ3 なぜエントロピーは量子相転移において発散するのか？その発散の関数的形は何か？
• RQ4 全パラメータ範囲において、もつれエントロピーはヤコビのシータ関数などの特殊関数で表現可能か？
• RQ5 相関行列の固有値νₘの構造は、系の臨界的挙動とどのように関係しているか？

主な発見

• 漸近的もつれエントロピーは、ヤコビのシータ関数を含む閉形式の式で与えられる：S(ρₐ) = ½ ∫₁^∞ ln[θ₃(β(λ)+στ/2)θ₃(β(λ)−στ/2)/θ₃²(στ/2)] dλ。
• h → 2でγ ≠ 0の臨界点において、エントロピーはS(ρₐ) = −(1/6)ln|2−h| + O(|2−h|ln²|2−h|)と発散し、 conformal field theory の予測を確認する。
• XX極限（γ → 0, h < 2）において、エントロピーはS⁰(ρₐ) = −(1/3)lnγ + O(γln²γ)と発散し、既知の結果と整合する。
• エントロピーは非常に秩序の高い（非臨界の）相で最小値をとり、相転移においては無限大に発散する。
• τ → 0のとき、相関行列の固有値νₘは[−1,1]に密に集積し、XX極限における連続的なカットの出現を説明する。
• この方法により、エントロピー計算がリーマン＝ヒルベルト問題に正確に写像され、モジュラー関数および楕円関数論を用いた厳密な評価が可能になった。