[論文レビュー] Enumerating Vertices of $0/1$-Polyhedra associated with $0/1$-Totally Unimodular Matrices

Khaled Elbassioni, Kazuhisa Makino|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、0/1-完全単調行列によって定義される0/1-多面体の頂点を列挙する、増分的多項式時間アルゴリズムを提示する。完全単調行列のセイモア分解を活用し、頂点列挙問題を完全単調ハイパーグラフにおける最小横断集合の計算に還元することで、このような頂点列挙が増分的多項式時間で解けることを確立した。これは、多面体組合せ論における長年の未解決問題を解消するものである。

ABSTRACT

We give an incremental polynomial time algorithm for enumerating the vertices of any polyhedron $\mathcal{P}(A,\mathbf{1})=\{x\in\RR^n \mid Ax\geq \b1,~x\geq \b0\}$, when $A$ is a totally unimodular matrix. Our algorithm is based on decomposing the hypergraph transversal problem for unimodular hypergraphs using Seymour's decomposition of totally unimodular matrices, and may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 0/1-完全単調行列によって定義される0/1-多面体の頂点列挙の計算複雑性を解明すること。
• このような多面体に対して、頂点列挙が増分的多項式時間で解けることを確立すること。
• 行列の分解を介して、頂点列挙と完全単調ハイパーグラフにおける最小横断集合の計算の間のギャップを埋めること。
• 既知の特殊ケース（例えば、二部グラフ、区間ハイパーグラフ）の結果を、0/1-完全単調行列の一般ケースへ拡張すること。

提案手法

• 完全単調行列のセイモア分解定理を用いて、著者らは行列を基本的構成要素（0/1-ネットワーク行列を含む）に分解する。
• 頂点列挙問題は、行列の行構造から導かれる完全単調ハイパーグラフのすべての最小横断集合を計算することに還元される。
• 行列およびハイパーグラフの構造的性質に基づいて、ハイパーグラフをより小さな部分問題に再帰的に分割する戦略を採用する。
• ハイパーグラフの構造（例えば、完全ハイパーエッジの存在、互いに素な頂点集合の存在）に基づくケース分析を用いて、再帰的分解を誘導する。
• 分解された構成要素における横断集合列挙の多項式時間サブルーチンを用いて、横断集合計算を増分的に実行する。
• 横断集合のサイズと再帰的分解の深さに関する帰納的バウンディングを用いて、正しさおよび増分的多項式時間複雑性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0/1-完全単調行列によって定義される0/1-多面体の頂点列挙問題は、増分的多項式時間で解けるか？
• RQ2 完全単調行列の構造を活用することで、ハイパーグラフにおける最小横断集合の計算に頂点列挙問題を還元できるか？
• RQ3 完全単調ハイパーグラフにおける横断集合問題は、増分的多項式時間解法を有するか？
• RQ4 完全単調行列の分解を、関連するハイパーグラフ横断集合問題に対応して持ち上げられるか？
• RQ5 定義行列が完全単調である場合の0/1-多面体における頂点列挙の計算複雑度は何か？

主な発見

• 0/1-完全単調行列 A によって定義される任意の 0/1-多面体 P(A, 1¯) の頂点は、増分的多項式時間で列挙可能である。
• 問題は、行列 A の行に対応するハイパーエッジを持つ完全単調ハイパーグラフ H[A] のすべての最小横断集合を計算することに還元される。
• セイモアの完全単調行列の分解から導かれる構造的性質を再帰的に用いることで、増分的多項式時間複雑度が達成される。
• 完全ハイパーエッジや互いに素な頂点集合の存在を含む、ハイパーグラフ構造に基づくケース分析により、すべてのケースを処理する。
• 再帰的呼び出し全体における総作業量が、入力サイズおよび出力サイズに関して多項式に抑えられる。
• この結果により、このクラスの多面体における頂点列挙問題が NP 困難でないことが示唆される。これは、一般の非有界ケースとは対照的である。