[論文レビュー] Enumeration of Enumeration Algorithms

K. Wasa|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 53被引用数 20

ひとこと要約

この包括的なサーベイは、幾何学、グラフ、ハイパーグラフ、マトロイド、文字列、論理など、多様な組合せ的分野における列挙アルゴリズムを網羅的に記録している。問題の種類別に既知のアルゴリズムを体系的に整理し、計算量の上限、記憶領域の要件、参考文献を提示しており、主に多項式遅延および1解あたり定数 amortized 時間を特徴とする。これは、組合せ的列挙およびアルゴリズム設計分野の研究者にとって基盤的な参照資料である。

ABSTRACT

In this paper, we enumerate enumeration problems and algorithms. This survey is under construction. If you know some results not in this survey or there is anything wrong, please let me know.

研究の動機と目的

• グラフ、ハイパーグラフ、文字列、論理などを含む、複数の分野における列挙アルゴリズムの集中的かつ最新のカタログを提供すること。
• 時間計算量、記憶領域使用量、遅延特性（例：多項式遅延、定数 amortized 時間）に基づいて既知のアルゴリズムを分類・要約すること。
• 福田、松井らの研究を含む多様な出典からの結果を集約・整理することで、研究者にとっての動的参照資料としての役割を果たすこと。
• 既存の文献におけるギャップを特定することで、効率的な列挙アルゴリズムの開発を支援すること。
• 問題クラスとアルゴリズム的技法の構造的概要を提供することで、組合せ的列挙分野の研究を促進すること。

提案手法

• 幾何学、グラフ理論、ハイパーグラフ、マトロイド、順序理論、論理、順列、SAT、集合、文字列、サーベイの11の主要セクションに列挙問題を分類する。
• 各問題について、入力、出力、時間計算量（合計および1解あたりの遅延）、記憶領域計算量、および n（入力サイズ）、N（解の数）、m（制約の数）などの主要パラメータを報告する。
• 深さ優先探索、バックトラッキング、動的計画法といった既知のアルゴリズム的技法を用い、効率的な生成のため、ヒープやトリーなどのデータ構造を併用することが多い。
• 幾何的問題（例：正則トライアングルレーション）に対して線形計画法（LP）のサブルーチンを用い、その計算量はLPの解法時間に依存する。
• リュンドン語、ネックレス、ブレーシレットの使用といった組合せ的生成技法を適用し、出力1件あたり定数 amortized 時間を達成する。
• 既知の問題（例：最大独立集合によるトライアングルレーションの還元）への還元に依存し、CAT（定数 amortized 時間）アルゴリズムのような既存の列挙フレームワークを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパニングツリー、クリーク、トライアングルレーションといった基本的な組合せ的問題に対する、最も効率的な列挙アルゴリズムは何か？
• RQ2 どの列挙問題が多項式遅延または1解あたり定数 amortized 時間を達成可能であり、その背後にあるアルゴリズム的原則は何か？
• RQ3 列挙アルゴリズムを系統立てて分類・整理することで、研究および実装を支援するにはどうすればよいか？
• RQ4 異なる問題クラスにおいて、合計時間、遅延、記憶領域使用量の間の主要な計算量的トレードオフは何か？
• RQ5 未解決の問題や効率的な列挙アルゴリズムが存在しない問題は何か？研究者はどのようにしてこれらのギャップを埋めることができるか？

主な発見

• 平面上の $n$ 個の点間の $k$ 個の最小距離を列挙するための $O(n\text{log}n + k\text{log}k)$ 合計時間アルゴリズムを提供し、$O(n+k)$ の記憶領域を要する。
• 点集合における非交差完全マッチングの列挙は、$O(2^n n^4)$ の前処理時間の後、多項式遅延を達成する。
• $d$ の密度を固定した $k$-進ネックレスの列挙は、合計時間 $O(nN)$、記憶領域 $O(n)$ で行い、$N$ は解の数を表す。
• 高度な組合せ的生成技法を用いて、$k$-進ネックレス、ブレーシレット、禁止部分文字列を含む文字列の列挙で、1解あたり定数 amortized 時間を達成する。
• $d$ 次元空間におけるすべての正則トライアングルレーションの列挙は、$O(ds \cdot \text{LP}(r,ds) \cdot T)$ 時間で実行され、$T$ はトライアングルレーションの数、$\text{LP}$ は線形計画法を解く時間である。
• 平面上の点集合のすべてのトライアングルレーションの列挙は、合計時間 $O(|P|N)$、記憶領域 $O(|P|)$ で実行され、$N$ はトライアングルレーションの数を表す。