[論文レビュー] Equality conditions for internal entropies of certain classical and quantum models

Peter Gmeiner|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、確率的過程の古典的および量子的モデルが内部エントロピーを等しくする条件を調査し、古典的最小モデル（εマシン）と特定の量子モデルとの間で内部エントロピーが等しくなるのはまれであることを示している。量子モデルはメモリ要件を顕著に削減できるが、内部エントロピーが等しくなるのは厳密な条件下でのみであり、さらに言えば、すべての量子構築法にわたって一貫して成り立つわけではないことを証明している。

ABSTRACT

Mathematical models use information from past observations to generate predictions about the future. If two models make identical predictions the one that needs less information from the past to do this is preferred. It is already known that certain classical models (certain Hidden Markov Models called ε-machines which are often optimal classical models) are not in general the preferred ones. We extend this result and show that even optimal classical models (models with minimal internal entropy) in general are not the best possible models (called ideal models). Instead of optimal classical models we can construct quantum models which are significantly better but not yet the best possible ones (i.e. they have a strictly smaller internal entropy). In this paper we show conditions when the internal entropies between classical models and specific quantum models coincide. Furthermore it turns out that this situation appears very rarely. An example shows that our results hold only for the specific quantum model construction and in general not for alternative constructions. Furthermore another example shows that classical models with minimal internal entropy need not to be related to quantum models with minimal internal entropy.

研究の動機と目的

• 古典的隠れマルコフモデル（HMM）の内部エントロピーとそれに対応する量子モデルの内部エントロピーが等しくなる条件を特定すること。
• 従来のεマシンに限らない、すべての最適な古典的モデルへと、量子的メモリ効率の優位性を拡張すること。
• 生成的複雑性の観点から最小の古典的モデル（最小古典的モデル）が、最小の量子モデルに対応するかを調査すること。
• 内部エントロピーの等価性が、さまざまな量子モデル構築法において常に成り立たないことを示すこと。
• 古典的最小モデルと内部エントロピーが最小の量子モデルとの関係を明確にすること。

提案手法

• 計算力学の枠組みと隠れマルコフモデル（HMM）を用い、古典的および量子的内部状態を持つ確率的過程をモデル化する。
• 量子操作を演算子和表現として表現できるようにするため、Stinespring-Kraus定理を適用し、隠れ量子マルコフモデル（HQMM）の構築を可能にする。
• 量子内部状態エントロピー $ C_q $ を、古典的シャノンエントロピー $ C_{Cl} $ に類似した量子状態分布のフォン・ノイマンエントロピーとして定義する。
• 過去と未来の相互情報量 $ I(X;Y) $、過剰エントロピー $ E $、および内部エントロピー $ C_q $ と $ C_{Cl} $ を比較し、不等式鎖 $ E \leq I(X;Y) \leq C_q \leq C_{Cl} $ を確立する。
• 特定の量子モデルを、直交射影子と遷移演算子を用いて古典的HMMから構築することで、$ C_q = C_{Cl} $ の等価条件を分析する。
• 4記号HMMの例を用いて結果を検証し、$ C_{Cl} = 2 $、$ I(X;Y) = 0.5 $、$ C_q \approx 1.2018 $ であることを示し、厳密な不等号 $ I(X;Y) < C_q < C_{Cl} $ が成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的最小モデルと特定の量子モデルの内部エントロピーが等しくなる条件は何か？
• RQ2 古典的最小HMMから誘導される量子モデルは、常に内部エントロピーの観点で最小の量子モデルであるか？
• RQ3 内部エントロピーの等価性 $ C_q = C_{Cl} $ を達成できるか。その場合、プロセスまたはモデルの構造的制約は何か？
• RQ4 内部エントロピーの等価性は、さまざまな量子モデル構築法にわたって成り立つか、それとも提案手法に特化しているのか？
• RQ5 内部エントロピー $ C_{Cl} $ が最小の古典的最小モデルと、内部エントロピー $ C_q $ が最小の量子モデルとの関係は何か？

主な発見

• 古典的生成的複雑性 $ C_{Cl} $ と量子内部状態エントロピー $ C_q $ が等しくなるのは、特定の構造的条件下でのみであり、実用的にはまれである。
• 4記号HMMの例では、$ C_{Cl} = 2 $、$ I(X;Y) = 0.5 $、$ C_q \approx 1.2018 $ であり、厳密な不等号 $ I(X;Y) < C_q < C_{Cl} $ が成り立つ。
• 2レベル系のみを用いた別の量子モデル構築法では $ C_q = 1 $ を達成でき、これは誘導されたHQMMが最小でないことを示しており、したがって $ C_q $ が誘導モデルのエントロピーよりも厳密に小さくなる可能性があることを証明している。
• εマシンでは $ E = I(X;Y) $ が成り立つが、これは量子モデルとの内部エントロピーが等しいとは限らないことを示唆する。
• 内部エントロピーの等価性 $ C_q = C_{Cl} $ は、すべての量子モデル構築法にわたって一般に成り立たない。この結果は、提案されたHQMM構築法に特化している。
• 最小の古典的モデルが、最小の量子モデルに対応するとは限らず、最小の量子モデルの構造は未解決の問題のままである。