[論文レビュー] Equations of Associativity in Two-Dimensional Topological Field Theory as Integrable Hamiltonian Nondiagonalizable Systems of Hydrodynamic Type

O. I. Mokhov, Eugene Ferapontov|ArXiv.org|May 30, 1995

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、2次元トポロジカル量子場理論における結合則の式——特にWDVV方程式——を、可積分なヒルベルト型ハミルトニアン系に再定式化できることを確立している。3階偏微分方程式を場の再定義により3×3の流体型系に変換することで、著者らは系(1.3)に対して局所的ハミルトニアン構造の存在を証明し、異なるWDVV方程式の解に対応する2つの異なる系(1.3)と(1.4)の解を結ぶバックリンド型変換を導出している。

ABSTRACT

Equations of associativity in two-dimensional topological field theory (they are known also as the Witten-Dijkgraaf-H.Verlinde-E.Verlinde (WDVV) system) are represented as an example of the general theory of integrable Hamiltonian nondiagonalizable (i.e., do not possessing Riemann invariants) systems of hydrodynamic type. A corresponding local nondegenerate Hamiltonian structure of hydrodynamic type (Poisson bracket of Dubrovin-Novikov type) is found. For n=3 the equations of associativity are reduced to the integrable three wave system by a chain of explicit transformations. Any solution of the integrable three wave system generates solutions of the equations of associativity. Explicit Bäcklund type transformations connecting solutions of different equations of associativity are found.

研究の動機と目的

• WDVV方程式から生じる可積分な流体型系(1.3)に対するハミルトニアン構造を確立すること。
• 系(1.3)が非対角化可能で、リーマン不変量を欠いているにもかかわらず、スペクトル法によって可積分性を示すこと。
• 異なるWDVV-compatibleな流体型系(1.3)と(1.4)の解を結ぶバックリンド型変換を構成すること。
• 可積分な3波系の任意の解が、WDVV方程式(1.1)の解を生成することを示すこと。
• 系(1.4)の非局所的ハミルトニアン構造を解明すること。この系は局所的ダブロビン＝ノヴィコフ型のポアソン括弧を有さない。

提案手法

• 場変数 $ a = f_{xxx}, b = f_{xxt}, c = f_{xtt} $ を用いて、WDVV方程式を3×3の流体型系(1.3)および(1.4)に変換する。
• 行列 $ A $ および $ B $ を用いたスペクトル問題から、流体型系と同値な整合性条件を導出する。
• ポアソン括弧の構成により、系(1.3)に対してダブロビン＝ノヴィコフ型の局所的非退化ハミルトニアン構造の存在を証明する。
• 行列 $ A $ の固有多項式の根 $ u^i $ から $ p^i $ への変数変換を施し、可積分な3波系(3.13)を導出する。
• 座標変換 $ ilde{x}, ilde{t} $ および場の再定義 $ w^i = 1/u^i $ を用いて、系(1.3)と(1.4)の間のバックリンド型変換を導出する。
• WDVV方程式(1.1)と(1.2)の間の変換が接触変換でないことを検証し、各系間で可積分性が保存されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トポロジカル量子場理論におけるWDVV方程式は、可積分なヒルベルト型ハミルトニアン系に再定式化可能か？
• RQ2 系(1.3)のハミルトニアン構造の性質は何か？また、局所的ダブロビン＝ノヴィコフ型ポアソン括弧を有するか？
• RQ3 異なるWDVV-compatibleな系(1.3)と(1.4)の間の関係は何か？それらの解を結ぶ変換は存在するか？
• RQ4 可積分な3波系は、変数変換の体系的手続きにより、WDVV系(1.1)から導出可能か？
• RQ5 系(1.4)が局所的ハミルトニアン構造を欠く理由は何か？その可積分性を支配する非局所的構造はどのようなものか？

主な発見

• 系(1.3)は、ダブロビン＝ノヴィコフ型の局所的非退化ハミルトニアン構造を有しており、標準的な流体理論による可積分性が裏付けられる。
• 系(1.3)における行列 $ A $ の固有値 $ u^1, u^2, u^3 $ は保存則の密度をなし、系は5つの線形独立な保存則を持つ。
• 微分的置換を用いて $ u^i $ から $ p^i $ への変数変換を施すと、系(1.3)は可積分な3波系(3.13)に変換され、この系はWDVV方程式(1.1)の解を生成する。
• 系(1.3)と(1.4)の間のバックリンド型変換は、座標変換 $ d ilde{x} = -rac{1}{2}(u^1u^2 + u^1u^3 + u^2u^3)dx + u^1u^2u^3 dt $、$ d ilde{t} = dx $ および場の再定義 $ w^i = 1/u^i $ によって実現される。
• WDVV方程式(1.1)と(1.2)の間の変換は接触変換でないため、解空間間に非正準的な関係があることが示唆される。
• 系(1.4)は局所的ハミルトニアン構造を有さない。そのハミルトニアン構造は、ダブロビン＝ノヴィコフ括弧の不在により、厳密に非局所的であることが確認された。