[論文レビュー] Equidistribution des horocycles d'une surface géométriquement finie

Barbara Schapira|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2003

History and Theory of Mathematics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、変動する負の曲率をもつ幾何的に有限な表面における水平曲線の等分布性を、Patterson-Sullivan測度と横断的不変測度を用いて確立する。拡大する水平曲線セグメント上の平均が自然な無限不変測度に収束することを証明し、古典的な等分布結果を、臨界指数に制限のない無限体積な双曲的表面へと拡張する。

ABSTRACT

In this work, we show equidistribution properties for the horocycles of a geometrically finite surface with variable negative curvature. If the surface is hyperbolic, we deduce an equidistribution result for the orbits of the horocyclic flow, when the surface has infinite volume.

研究の動機と目的

• 有限体積から無限体積な双曲的表面への水平曲線フローの古典的等分布結果の拡張。
• 無限体積設定におけるLiouville測度のエルゴード性の欠如に対処し、自然な無限不変測度を同定すること。
• 特に、カスプをもつ表面を含め、コンパクトまたは有限体積の場合を超えて等分布結果を一般化すること。
• 横断的測度と幾何的有限性を用いた、可変曲率における等分布の枠組みの構築。
• ホフの定理に類似した、無限質量設定でも有効な商型等分布定理の確立。

提案手法

• 幾何的に有限な表面の単位接束 $T^1S$ 上での主要な不変測度として、Patterson-Sullivan測度 $m_{PS}$ を用いる。
• 水平曲線foliationの横断的不変測度 $\mu$ を導入し、これはスケーリングを除き一意で、非逸脱な葉に台を持つ。
• 条件付き測度 $\mu^{ps}_{H^+}$ に関する水平曲線球 $B^+(u,r)$ 上での局所平均 $M_{r,u}(\psi)$ を定義する。
• $cusp$ 端における発散条件 (1) を課し、$m_{PS}$ の有限性を保証する。この条件は定曲率で満たされる。
• 正規化された平均 $M_{r,u}(\psi)$ が $r \to \infty$ のとき $\int \psi \, dm_{PS}$ に収束することを確立する。
• 幾何的有限性と曲率の上界 $\leq -1$ を用いて、無限体積水平曲線フローの等分布性を横断的測度枠組みへ還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限体積な幾何的に有限な双曲的表面における水平曲線軌道は、どのように振る舞うか？
• RQ2 有限Liouville測度が存在しない状況で、水平曲線の等分布を支配する不変測度は何か？
• RQ3 臨界指数の条件を仮定しないで、可変曲率表面へ等分布結果を拡張できるか？
• RQ4 Patterson-Sullivan測度は、無限体積な表面における等分布において、どのような役割を果たすか？
• RQ5 無限不変測度の文脈で、商型等分布定理をどのように定式化できるか？

主な発見

• 非逸脱かつ非周期的なベクトル $u$ が非逸脱集合 $\mathcal{E}$ に属する任意のものについて、水平曲線軌道に沿った時間平均の比は、無限不変測度 $m = \mu \circ \lambda$ に関する積分の比に収束する。
• 主要な結果（定理 4.4）は、商の等分布を確立する：$\frac{\int_{-t}^t \psi \circ h^s(u) \, ds}{\int_{-t}^t \varphi \circ h^s(u) \, ds} \to \frac{\int \psi \, dm}{\int \varphi \, dm}$ が $t \to \infty$ のとき成り立つ。
• 可変曲率の場合、定理 2.1 は、水平曲線球 $B^+(u,r)$ 上の局所平均が $r \to \infty$ のとき $\int \psi \, dm_{PS}$ に収束することを示す。
• 発散条件 (1) を満たせば、Patterson-Sullivan測度 $m_{PS}$ は有限であり、確率測度に正規化可能である。この条件は定曲率で成立する。
• 水平曲線foliationのための一意な横断的不変測度 $\mu$ と、軌道に沿ったHaar測度 $\lambda$ を組み合わせることで、無限不変測度 $m = \mu \circ \lambda$ が生成される。
• Fuchsian群 $\Gamma$ の臨界指数に制限を課さないで、従来の解析的手法とは異なり、本結果は成り立つ。