[論文レビュー] Equilibrium distributions and discrete Schur-constant models

Anna Castañer, M. Mercè Claramunt Bielsa|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、(n−1)次均衡分布が存在する一変量生存関数によって生成される、新しい種類の多変量離散シュール定数モデル、すなわちシュール定数均衡分布モデルを導入する。このモデルは反復的均衡分布を用いて和構造を持つ連続生存関数を定義し、主な結果として、成分がポアソン分布に従う場合、和が依然としてポアソン分布に従い、相関係数が平均および高次モーメントの関数として明示的に導出されることを示している。

ABSTRACT

This paper introduces Schur-constant equilibrium distribution models of dimension n for arithmetic non-negative random variables. Such a model is defined through the (several orders) equilibrium distributions of a univariate survival function. First, the bivariate case is considered and analyzed in depth, stressing the main characteristics of the Poisson case. The analysis is then extended to the multivariate case. Several properties are derived, including the implicit correlation and the distribution of the sum.

研究の動機と目的

• (n−1)次均衡分布の存在を唯一の条件として、より広範な離散生存関数のクラスにシュール定数モデルを拡張すること。
• 離散定常超過作用素と反復的均衡分布に基づく多変量均衡モデルの構築。
• モデルの連続生存関数、周辺分布および和分布の特徴付け。
• 基底分布の原点モーメントの関数としてピアソン積率相関係数の明示的表現を導出すること。
• 基底分布がポアソン分布の場合、成分の和が依然としてポアソン分布に従うことを示すこと。

提案手法

• 一変量生存関数 S の (n−1)次均衡分布を用いて、シュール定数多変量均衡モデルを定義する。
• 離散定常超過作用素を用いて (n−1)次均衡分布を生成し、生存関数が n-単調であることを保証する。
• 生存関数の (n−1)階前進差分を用いて、和 Z = X₁ + ⋯ + Xₙ の確率質量関数を導出する。
• 部分和分法と多項式分解を適用して、均衡分布のモーメントを再帰的に表現する。
• 再帰式 µᵢ:ⱼ = 1/μᵢ₋₁:₁ ∑ᵣ₌₁^{j+1} aᵣ(j+1) μᵢ₋₁:ᵣ を用いて高次モーメントを計算する。
• (n−1)次均衡分布の平均と分散の関数としてピアソン相関係数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一変量生存関数にどのような条件を課せば、シュール定数多変量均衡モデルを構築できるか。
• RQ2 和 Z = X₁ + ⋯ + Xₙ の分布は、基底生存関数 S とどのように関係するか。
• RQ3 多変量均衡モデルにおけるピアソン相関係数の明示的形は何か。
• RQ4 基底成分 X がポアソン分布に従う場合、和 Z は依然としてポアソン分布に従うか。
• RQ5 衡平分布のモーメントは、元の分布の原点モーメントとどのように関係するか。

主な発見

• シュール定数多変量均衡モデルにおける和 Z = X₁ + ⋯ + Xₙ の確率質量関数は、P(Z = z) = P(X = z + n − 1) / (μ · μ₁:₁ · ⋯ · μₙ₋₂:₁) × (z + n − 1 choose n − 1) で与えられる。
• 基底変数 X が平均 λ のポアソン分布に従う場合、和 Z は依然として平均 λ のポアソン分布に従う。
• 2次元の場合のピアソン相関係数は ρ = −λ / (6 + λ) であり、一般には基底分布の平均および高次モーメントに依存する。
• n = 3 の場合、相関係数は ρ = 1/2 − (μ − E(X³))(2μ − 3E(X²) + E(X³)) / (2μ² + 2(E(X³))² + 3E(X²)(E(X²) − E(X⁴)) + μ(−3E(X²) − 4E(X³) + 3E(X⁴))) で与えられる。
• n = 4 の場合、相関係数は ρ = 1/2 − 5(6μ − 11E(X²) + 6E(X³) − E(X⁴))(2μ − E(X²) − 2E(X³) + E(X⁴)) / (2(D − 4μJ)) で与えられ、D および J は E(X⁵) までのモーメントで定義される。
• 本モデルは、n-単調性の要請を (n−1)次均衡分布の存在に緩和することで、従来のシュール定数モデルを一般化している。