[論文レビュー] Equivariant Bloch-Kato conjecture and non-abelian Iwasawa Main Conjecture

Annette Huber, Guido Kings|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 23

ひとこと要約

本論文は、L関数の特別値に関する等変Bloch-Kato予想と非アーベルIwasawa主予想との間の明確な関係を確立し、非可換行列式とIwasawa理論における射影極限を用いて、前者が後者を含意することを示している。主な貢献は、Iwasawa代数における行列式の自然な同型を与えることで、Rubinの主予想を再形式化し、一般のTamagawa数予想をねじれを用いて類数公式に還元するという哲学を支持することにある。

ABSTRACT

This is a contribution to the ICM 2002. We explain the relation between the (equivariant) Bloch-Kato conjecture for special values of L-functions and the Main Conjecture of (non-abelian) Iwasawa theory. On the way we will discuss briefly the case of Dirichlet characters in the abelian case. We will also discuss how "twisting" in the non-abelian case would allow to reduce the general conjecture to the case of number fields. This is one the main motivations for a non-abelian Main Conjecture.

研究の動機と目的

• 等変Bloch-Kato予想と非アーベルIwasawa主予想の関係を明確化すること。
• 明示的なp進L関数を用いずに、任意のモチーフおよびp進Lie層に対して主予想を定式化すること。
• 非可換K理論を用いて、等変Tamagawa数予想が非アーベルIwasawa主予想を含意することを示すこと。
• 一般のL値予想が非アーベル的状況においてねじれを用いて類数公式に還元可能であるという考えを支持すること。

提案手法

• 完備なAモジュールの完全複体上のカテゴリV(A)およびdet_A関手を用いた非可換行列式の枠組みを利用する。
• K_1およびK_0群の理論を用いて、Iwasawa代数における生成元の射影的システムを分析する。
• 群環Z_p[G_n]のK_1群の逆極限を用いて、整合的な生成元の系列をIwasawa代数Λに持ち上げる。
• Iwasawa代数におけるコホモロジー群の行列式の同型を用いて、Rubinの主予想を再形式化する。
• ゼータ元の理論とBeilinsonのイーサンスタイン記号を用いて、エタールコホモロジーにおける明示的生成元を構成する。
• ゼータ元の移行写像における整合性およびp進レギュレーターによる像の性質に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変Bloch-Kato予想は非アーベルIwasawa主予想とどのように関係しているか？
• RQ2 明示的なp進L関数を用いずに非アーベルIwasawa主予想を定式化できるか？
• RQ3 ねじれを用いてTamagawa数予想をどの程度等変類数公式に還元できるか？
• RQ4 非可換行列式はモチーフコホモロジーとIwasawa理論をどのように結びつけるか？
• RQ5 ガロアコホモロジーにおける整合的なゼータ元の系列は、Iwasawa代数にどのように持ち上げられるか？

主な発見

• 等変Tamagawa数予想は、Qに係数をとるモチーフに対して非アーベルIwasawa主予想を含意する。
• 行列式の自然な同型が確立される：Iwasawa代数Λにおいて、det_Λ(H^1(...)/e_k) ≅ det_Λ(H^2(...)) が成り立つ。
• ゼータ元δ_p(G_n, M, k)は、エタールコホモロジーにおいて楕円単数のねじれに写され、明示的な整合性が得られる。
• Z_p[G_n]のK_1群の射影極限はB_nの極限に全射であり、整合的な生成元の系列をIwasawa代数に持ち上げることが可能である。
• Q_p[G_n]⊗∇における生成子δ(n)の系列は、K_1(Z_p[G_n])の逆極限を介して∇における生成子に持ち上がることを示し、グローバル生成子の存在を証明する。
• 構成は、ねじれを用いて一般のL値予想を数体における類数公式に還元できるという哲学を支持する。